Question

9．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足：a₁+a₂=0，S₄=8
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出；
（2）利用“裂项求和”与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，∵a₁+a₂=0，S₄=8，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2{a}_{1}+d=0}\\{4{a}_{1}+\frac{4×3}{2}d=8}\end{array}\right.$，解得a₁=-1，d=2．
∴a_n=-1+2（n-1）=2n-3．
（2）$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$=$\frac{2n-3}{{3}^{n}}$，
∴数列{$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$}的前n项和T_n=$\frac{-1}{3}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{3}{{3}^{3}}$+…+$\frac{2n-3}{{3}^{n}}$，
$\frac{1}{3}{T}_{n}$=-$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{3}}$+…+$\frac{2n-5}{{3}^{n}}$+$\frac{2n-3}{{3}^{n+1}}$，
∴$\frac{2}{3}{T}_{n}$=$-\frac{1}{3}$+2$（\frac{1}{{3}^{2}}+\frac{1}{{3}^{3}}+…+\frac{1}{{3}^{n}}）$-$\frac{2n-3}{{3}^{n+1}}$=-$\frac{1}{3}$+2×$\frac{\frac{1}{9}（1-\frac{1}{{3}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{3}}$-$\frac{2n-3}{{3}^{n+1}}$=-$\frac{2n}{{3}^{n+1}}$，
∴T_n=$\frac{n}{{3}^{n}}$．

点评 本题考查了“裂项求和”、等差数列与等比数列的通项公式与前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．