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已知圆C:x2+(y-3)2=4,一动直线l过A(-1,0)与圆C相交于P、Q两点,M是PQ中点,l与直线m:x+3y+6=0相交于N.
(Ⅰ)求证:当l与m垂直时,l必过圆心C;
(Ⅱ)当数学公式时,求直线l的方程;
(Ⅲ)探索数学公式是否与直线l的倾斜角有关,若无关,请求出其值;若有关,请说明理由.

解:(Ⅰ)∵直线l与直线m垂直,且
∴kl=3,又kAC=3,
所以当直线l与m垂直时,直线l必过圆心C;
(Ⅱ)①当直线l与x轴垂直时,易知x=-1符合题意,
②当直线l与x轴不垂直时,设直线l的方程为y=k(x+1),即kx-y+k=0,
因为,所以
则由,得
∴直线l:4x-3y+4=0.
从而所求的直线l的方程为x=-1或4x-3y+4=0;
(Ⅲ)因为CM⊥MN,

当直线l与x轴垂直时,易得
,又

当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x+1),
则由,得N(),

=
综上,与直线l的斜率无关,且
分析:(Ⅰ)由圆的方程找出圆心坐标和圆的半径,根据两直线垂直时斜率的乘积为-1,由直线m的斜率求出直线l的斜率,根据点A和圆心坐标求出直线AC的斜率,得到直线AC的斜率与直线l的斜率相等,所以得到直线l过圆心;
(Ⅱ)分两种情况:①当直线l与x轴垂直时,求出直线l的方程;②当直线l与x轴不垂直时,设直线l的斜率为k,写出直线l的方程,根据勾股定理求出CM的长,然后利用点到直线的距离公式表示出圆心到所设直线l的距离d,让d等于CM,列出关于k的方程,求出方程的解即可得到k的值,写出直线l的方程即可;
(Ⅲ)根据CM⊥MN,得到等于0,利用平面向量的加法法则化简等于,也分两种情况:当直线l与x轴垂直时,求得N的坐标,分别表示出,求出两向量的数量积,得到其值为常数;当直线l与x轴不垂直时,设出直线l的方程,与直线m的方程联立即可求出N的坐标,分别表示出,求出两向量的数量积,也得到其值为常数.综上,得到与直线l的倾斜角无关.
点评:此题考查学生掌握两直线垂直时斜率满足的条件,灵活运用平面向量的数量积的运算法则化简求值,灵活运用点到直线的距离公式化简求值,会利用分类讨论的数学思想解决实际问题,是一道综合题.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

已知圆C:x2+(y-1)2=5,直线l:mx-y+1-m=0
(1)求证:直线l恒过定点;
(2)设l与圆交于A、B两点,若|AB|=
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,求直线l的方程.

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已知圆C:x2+(y-3)2=4,一动直线l过A (-1,O)与圆C相交于P、Q两点,M是PQ中点,l与直线x+3y+6=0相交于N,则|AM|•|AN|=
 

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已知圆C:x2+(y-2)2=1
(1)求与圆C相切且在坐标轴上截距相等的直线方程;
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已知圆C:x2+(y-1)2=5,直线l:mx-y+1-m=0,
(1)求证对m∈R,直线l和圆C总相交;
(2)设直线l和圆C交于A、B两点,当|AB|取得最大值时,求直线l的方程.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知圆C:x2+(y-1)2=5,直线l:mx-y+1-m=0
(1)求证:对m∈R,直线l与C总有两个不同的交点;
(2)设l与C交于A、B两点,若|AB|=
17
,求l的方程;
(3)设l与C交于A、B两点且kOA+kOB=2,求直线l的方程.

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