Question

设函数f（x）（x∈N）表示x除以3的余数，对x，y∈N都有（ ）
A．f（x+3）=f（x）
B．f（x+y）=f（x）+f（y）
C．3f（x）=f（3x）
D．f（x）f（y）=f（xy）

Answer 1

【答案】分析：设若x除以3的余数是a，则可以知0≤a≤2，进而可以推断出x+3除以3的余数=x除以3的余数+3除以3的余数，因为3除以3的余数=0，进而可知x+3除以3的余数=x除以3的余数．
解答：解：对于A，若x除以3的余数是a，则0≤a≤2，
∴x+3除以3的余数=x除以3的余数+3除以3的余数，而3除以3的余数=0，
∴x+3除以3的余数=x除以3的余数；故选项A符合题意；
对于B，不妨令x=1，y=2，则f（x+y）=f（3）=0，而f（1）=1，f（2）=2，显然0≠1+2=3，
故选项B不符合题意；
对于C，f（3x）=0，而3f（x）不一定为0，故C不符合题意；
对于D，不妨令x=2，y=2，则f（x+y）=f（4）=1，而f（x）=2，f（y）=2，显然1±2×2=4，故D不符合题意．
故答案为：A．
点评：本题主要考查了抽象函数及其应用．考查了学生分析问题和解决问题的能力，特别是特值法，属于中档题．