【题目】函数f(x)=6cos2 sinωx﹣3(ω>0)在一个周期内的图象如图所示,A为图象的最高点,B、C为图象与x轴的交点,且△ABC为正三角形.
(1)求ω的值及函数f(x)的值域;
(2)若f(x0)= ,且x0∈(﹣ ),求f(x0+1)的值.
【答案】
(1)解:由已知可得,f(x)=3cosωx+ sinωx=2 sin(ωx+ ),
又正三角形ABC的高为2 ,从而BC=4,
∴函数f(x)的周期T=4×2=8,即 =8,ω= ,
∴函数f(x)的值域为[﹣2 ,2 ].
(2)解:∵f(x0)= ,由(Ⅰ)有f(x0)=2 sin( x0+ )= ,
即sin( x0+ )= ,由x0∈(﹣ ),知 x0+ ∈(﹣ , ),
∴cos( x0+ )= = .
∴f(x0+1)=2 sin( x0+ + )=2 sin[( x0+ )+ ]=2 [sin( x0+ )cos +cos( x0+ )sin ]
=2 ( × + × )
= .
【解析】(1)将f(x)化简为f(x)=2 sin(ωx+ ),利用正弦函数的周期公式与性质可求ω的值及函数f(x)的值域;(2)由x0∈(﹣ ),知 x0+ ∈(﹣ , ),由 ,可求得即sin( x0+ )= ,利用两角和的正弦公式即可求得f(x0+1).
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【题目】已知等差数列{an}满足:a3=7,a5+a7=26,{an}的前n项和为Sn.
(1)求an及Sn;
(2)令bn=(n∈N*),求数列{bn}的前n项和Tn.
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【题目】无穷数列满足:为正整数,且对任意正整数,为前项、、、中等于的项的个数.
(1)若,求和的值;
(2)已知命题 存在正整数,使得,判断命题的真假并说明理由;
(3)若对任意正整数,都有恒成立,求的值.
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【题目】记[x]为不超过实数x的最大整数,例如,[2]=2,[1.5]=1,[﹣0.3]=﹣1.设a为正整数,数列{xn}满足x1=a, ,现有下列命题:
①当a=5时,数列{xn}的前3项依次为5,3,2;
②对数列{xn}都存在正整数k,当n≥k时总有xn=xk;
③当n≥1时, ;
④对某个正整数k,若xk+1≥xk , 则 .
其中的真命题有 . (写出所有真命题的编号)
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【题目】袋中装有个大小相同的黑球和白球.已知从袋中任意摸出个球,至少得到个白球的概率是.
(1)求白球的个数;
(2)从袋中任意摸出个球,记得到白球的个数为,求随机变量的分布列和数学期望.
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【题目】如图,在三棱锥P﹣ABC中,∠APB=90°,∠PAB=60°,AB=BC=CA,平面PAB⊥平面ABC.
(1)求直线PC与平面ABC所成角的大小;
(2)求二面角B﹣AP﹣C的大小.
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【题目】已知a为正实数,n为自然数,抛物线 与x轴正半轴相交于点A,设f(n)为该抛物线在点A处的切线在y轴上的截距.
(1)用a和n表示f(n);
(2)求对所有n都有 成立的a的最小值;
(3)当0<a<1时,比较 与 的大小,并说明理由.
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【题目】已知动点P与两个定点O(0,0),A(3,0)的距离的比值为2,点P的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的轨迹方程
(2)过点(﹣1,0)作直线与曲线C交于A,B两点,设点M坐标为(4,0),求△ABM面积的最大值.
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