Question

（2013•唐山一模）如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，侧面PAD丄底面ABCD，∠APD=

π

2

．
（I ）求证：平面PAB丄平面PCD；
（II）如果AB=BC，PB=PC，求二面角B-PC-D的余弦值．

Answer 1

分析：（I）利用ABCD的底面是矩形，可得CD⊥AD，再利用面面垂直的性质及侧面PAD⊥底面ABCD，可得CD⊥PA．由已知可得PA⊥PD，进而得到PA⊥平面PCD．利用面面平行的判定定理即可证明平面PAB⊥平面PCD．
（II）如图，以AB为x轴，AD为y轴建立空间直角坐标系A-xyz．利用两个平面的法向量的夹角即可得出二面角的余弦值．

解答：（Ⅰ）证明：因为四棱锥P-ABCD的底面是矩形，所以CD⊥AD，
又侧面PAD⊥底面ABCD，所以CD⊥PA．
又∠APD=

π

2

，即PA⊥PD，而CD∩PD=D，所以PA⊥平面PCD．
因为PA?平面PAB，所以平面PAB⊥平面PCD．
（Ⅱ）解：如图，以AB为x轴，AD为y轴建立空间直角坐标系A-xyz．
设AB=2，P（0，a，b）（a＞0，b＞0），
则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0）．
由PA⊥PD，

PA

=（0，-a，-b），

PD

=（0，2-a，-b），
得-a（2-a）+b²=0．①
因为PB=PC，所以2²+a²+b²=2²+（2-a）²+b²．②
由①，②得a=1，b=1．
由（Ⅰ）知，

PA

=（0，-1，-1）是面PCD的一个法向量．
设面PBC的一个法向量为

n

=（x，y，z），则

n

•

PB

=0，

n

•

BC

=0，
又

PB

=（2，-1，-1），

BC

=（0，2，0），
所以

2x-y-z=0 2y=0

取

n

=（1，0，2）．
因为cos?＜

PA

，

n

＞?=-

10

5

，又二面角B-PC-D为钝角，
所以二面角B-PC-D的余弦值-

10

5

．

点评：本题综合考查了线面垂直的判定与性质定理、面面垂直的判定与性质定理、通过建立空间直角坐标系利用平面的法向量求二面角的余弦值等基础知识与基本技能，考查了空间想象能力、推理能力和计算能力．