【题目】定义：若存在常数
，使得对定义域D内的任意两个不同的实数
，均有：
成立，则称
在D上满足利普希茨(Lipschitz)条件．
（1）试举出一个满足利普希茨(Lipschitz)条件的函数及常数的值，并加以验证；
（2）若函数
在
上满足利普希茨(Lipschitz)条件，求常数的最小值；
（3)现有函数
，请找出所有的一次函数
，使得下列条件同时成立：
①函数满足利普希茨(Lipschitz)条件；
②方程
的根
也是方程
的根，且
；
③方程
在区间
上有且仅有一解．
【答案】（1）
，见解析；（2）
（3）
【解析】
（1）令可以满足题意，一次函数和常值函数都可以满足；
（2）根据定义化简
，得出k的最小值；
（3）由于所有一次函数均满足（1）故设
是
的根，推得
，若
符合题意，则
也符合题意，可以只考虑
的情形，分①若
，②若
，分别验证是否满足题意，可得k的范围.
（1）例如令由
知可取满足题意（任何一次函数或常值函数等均可）。
（2）
在
为增函数
对任意
有
（当
时取到）所以
（3）由于所有一次函数均满足（1）故设是的根
，
又
若符合题意，则也符合题意，故以下仅考虑的情形。
设
①若，则由
且
所以，在
中另有一根，矛盾。
②若，则由
所以，在
中另有一根，矛盾。
以下证明，对任意
符合题意。
当
时，由
图象在连接两点
的线段的上方知
当
时，
当
时，
综上：
有且仅有一个解
，
在
满足题意。
综上所述：,
故得解.
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【题目】设
为抛物线
的焦点，过点的直线
与抛物线
相交于
、
两点.
（1）若
，求此时直线的方程；
（2）若与直线垂直的直线
过点，且与抛物线相交于点
、
，设线段
、
的中点分别为
、
，如图，求证：直线
过定点；
（3）设抛物线上的点
、
在其准线上的射影分别为
、
，若△
的面积是△
的面积的两倍，如图，求线段
中点的轨迹方程.
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【题目】为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样的方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：
性别 是否需要志愿者 | 男 | 女 |
需要 | 40 | 30 |
不需要 | 160 | 270 |
附：
的观测值
| 0.05 | 0.01 | 0.001 |
| 3.841 | 6.635 | 10.828 |
（1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；
（2）在犯错误的概率不超过0.01的前提下是否可认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？
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【题目】已知抛物线
：
的焦点为
，抛物线上存在一点
到焦点的距离等于3.
（1）求抛物线的方程；
（2）过点的直线
交抛物线于
，
两点，以线段
为直径的圆交
轴于
，
两点，设线段的中点为
，求
的最小值.
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【题目】从分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数字不大于第二张卡片的概率是（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
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【题目】甲、乙两家商场对同一种商品开展促销活动,对购买该商品的顾客两家商场的奖励方案如下:
甲商场:顾客转动如图所示的圆盘,当指针指向阴影部分(图中两个阴影部分均为扇形,且每个扇形的圆心角均为
,边界忽略不计)即为中奖.
乙商场:从装有2个白球、2个蓝球和2个红球(这些球除颜色外完全相同)的盒子中一次性摸出2球,若摸到的是2个相同颜色的球,则为中奖.
试问:购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大?请说明理由.
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【题目】已知函数
（其中
，
，
，
是实数常数，
）.
（1）若
，函数
的图象关于点
成中心对称，求，的值；
（2）若函数满足条件（1），且对任意
，总有
，求的取值范围；
（3）若
，函数是奇函数，
，
，且对任意
时，不等式
恒成立，求负实数
的取值范围．
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