Question

已知O为坐标原点，M(cosx，2

3

)，N(2cosx，sinxcosx+

3

6

a)其中
x∈R，a为常数，设函数f(x)=

OM

•

ON

．
（1）求函数y=f（x）的表达式和最小正周期；
（2）若角C为△ABC的三个内角中的最大角且y=f（C）的最小值为0，求a的值；
（3）在（2）的条件下，试画出y=f（x）（x∈[0，π]）的简图．

Answer 1

分析：（1）根据向量数量积的坐标表示和两角和的正弦公式，求出函数的解析式并进行化简，利用周期公式求出函数的最小正周期；
（2）根据三角形最大角的范围求出2C+

π

6

的范围，再由正弦函数的性质以及最小值求出a的值；
（3）根据（2）求出的函数解析式，以及对应坐标系中的标出的自变量的值求出对应的函数值，利用描点连线和正弦曲线，画出函数的简图．

解答：解：（1）由题意知，f(x)=

OM

•

ON

则f(x)=2cos2x+2

3

(sinxcosx+

3

6

a)=cos2x+

3

sin2x+1+a
=2sin(2x+

π

6

)+a+1
∴T=π
（2）由角C为△ABC的三个内角中的最大角可得：

π

3

≤C＜π，2C+

π

6

∈[

5

6

π，

13

6

π)，
∴y=f(C)=2sin(2C+

π

6

)+a+1的最小值为2×（-1）+a+1=0，
则a=1．
（3）由（2）可知：y=f(x)=2sin(2x+

π

6

)+2，
依次求出f（0）=3，f（

π

6

）=4，f（

π

3

）=3，f（

π

2

）=1，f（

2π

3

）=0，f（

5π

6

）=1，f（π）=3．
在坐标系中进行描点连线，画出函数的图象（x∈[0，π]）：

点评：本题是向量和三角函数的综合题，考查了向量数量积的坐标表示和正弦函数的性质应用，综合运用知识和作图能力．