Question

20．已知集合A={x|x²-3x+2＜0}，B={x|a-1＜x＜3a+1}．
（1）当a=$\frac{1}{4}$时，求A∩B；
（2）命题p：x∈A，命题q：x∈B，若q是p的必要条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当a=$\frac{1}{4}$时，求出集合B，根据集合的基本运算即可求A∩B：
（2）根据命题充分条件和必要条件的定义和关系，即可求实数a的取值范围．

解答 解：（1）A={x|x²-3x+2＜0}=（1，2），
B={x|a-1＜x＜3a+1}=（-$\frac{3}{4}$，$\frac{7}{4}$），
∴A∩B=（1，$\frac{7}{4}$），
（2）根据条件知，若x∈A，则x∈B，q是p的必要条件
∴A⊆B；
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-1≤1}\\{3a+1≥2}\end{array}\right.$，
解得$\frac{1}{3}$≤a≤2，
故a的取值范围为[$\frac{1}{3}$，2]

点评 本题主要考查集合的基本运算以及充分条件和必要条件的应用，利用不等式的性质是解决本题的关键．