【题目】如图所示,四棱锥的底面是梯形,且
,
平面
,
是
中点,
.
(Ⅰ)求证: 平面
;
(Ⅱ)若,
,求直线
与平面
所成角的大小.
【答案】(I)证明见解析;(II).
【解析】试题分析:(I)取的中点
,连结
,证得
,从而证得
平面
,根据平行四边形的性质,得
,即可证明
平面
;(II)分别以
的方向为
轴的正方向,建立空间直角坐标系
,求解出平面
和向量
,即可利用向量所成的角,得到直线
与平面
所成角的大小.
试题解析:(Ⅰ)证明:取的中点
,连结
,如图所示.
因为,所以
.
因为平面
,
平面
,
所以.又因为
,
所以平面
.
因为点是
中点,所以
,且
.
又因为,且
,所以
,且
,
所以四边形为平行四边形,所以
,所以
平面
.
(Ⅱ)解:设点O,G分别为AD,BC的中点,连结,则
,
因为平面
,
平面
,所以
,所以
.
因为,由(Ⅰ)知,
又因为
,
所以,所以
所以为正三角形,所以
,
因为平面
,
平面
,
所以.
又因为,所以
平面
.
故两两垂直,可以点O为原点,分别以
的方向为
轴的正方向,
建立空间直角坐标系,如图所示.
,
,
,
所以,
,
,
设平面的法向量
,
则所以
取
,则
,
设与平面
所成的角为
,则
,
因为,所以
,所以
与平面
所成角的大小为
.
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【题目】如图,直角中,∠
,
,D、E分别是AB、BC边的中点,沿DE将
折起至
,且∠
.
(Ⅰ)求四棱锥F-ADEC的体积;
(Ⅱ)求证:平面ADF⊥平面ACF.
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【题目】某学校为了解高三年级学生寒假期间的学习情况,抽取甲、乙两班,调查这两个班的学生在寒假期间每天平均学习的时间(单位:小时),统计结果绘成频率分布直方图(如图).已知甲、乙两班学生人数相同,甲班学生每天平均学习时间在区间[2,4]的有8人.
(1)求直方图中a的值及甲班学生每天平均学习时间在区间(10,12]的人数;
(2)从甲、乙两个班每天平均学习时间大于10个小时的学生中任取4人参加测试,设4人中甲班学生的人数为ξ,求ξ的分布列和数学期望.
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【题目】以下四个命题中其中真命题个数是( )
①为了了解800名学生的成绩,打算从中抽取一个容量为40的样本,考虑用系统抽样,则分段的间隔k为40;
②线性回归直线 恒过样本点的中心
;
③随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2)(σ>0),若在(﹣∞,1)内取值的概率为0.1,则在(2,3)内的概率为0.4;
④若事件和
满足关系
,则事件
和
互斥.
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
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【题目】如图所示,∠PAQ是村里一个小湖的一角,其中∠PAQ=60°.为了给村民营造丰富的休闲环境,村委会决定在直线湖岸AP与AQ上分别建观光长廊AB与AC,其中AB是宽长廊,造价是800元/米;AC是窄长廊,造价是400元/米;两段长廊的总造价预算为12万元(恰好都用完);同时,在线段BC上靠近点B的三等分点D处建一个表演舞台,并建水上通道AD(表演舞台的大小忽略不计),水上通道的造价是600元/米.
(1)若规划宽长廊AB与窄长廊AC的长度相等,则水上通道AD的总造价需多少万元?
(2)如何设计才能使得水上通道AD的总造价最低?最低总造价是多少万元?
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【题目】平面直角坐标系中,已知椭圆
的左焦点为
,离心率为
,过点
且垂直于长轴的弦长为
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设点分别是椭圆的左、右顶点,若过点
的直线与椭圆相交于不同两点
.
①求证:;
②求面积的最大值.
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【题目】设函数f(x)在R上可导,其导函数为f′(x),且函数y=(1﹣x)f′(x)的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是( )
A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)
B.函数f(x)有极大值f(﹣2)和极小值f(1)
C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(﹣2)
D.函数f(x)有极大值f(﹣2)和极小值f(2)
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【题目】已知函数f(x)的导函数f'(x)满足2f(x)+xf′(x)>x2(x∈R),则对x∈R都有( )
A.x2f(x)≥0
B.x2f(x)≤0
C.x2[f(x)﹣1]≥0
D.x2[f(x)﹣1]≤0
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【题目】已知函数f(x)=lnx﹣ ax2+x,a∈R.
(1)若f(1)=0,求函数f(x)的最大值;
(2)令g(x)=f(x)﹣(ax﹣1),求函数g(x)的单调区间;
(3)若a=﹣2,正实数x1 , x2满足f(x1)+f(x2)+x1x2=0,证明x1+x2≥ .
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