Question

【题目】已知椭圆的右焦点为，原点为，椭圆的动弦过焦点且不垂直于坐标轴，弦的中点为，过且垂直于线段的直线交射线于点.

（Ⅰ）证明：点在定直线上；

（Ⅱ）当最大时，求的面积.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)见解析.( Ⅱ) .

【解析】

（I）求出椭圆 的右焦点F的坐标，设AB所在直线为： （k≠0），且A（x1，y1），B（x2，y2）．联立直线与椭圆的方程组，通过韦达定理，求出中点坐标，求出ON的方程，与FM所在的直线方程联立，解得点M坐标即可求出M在定直线 上；（Ⅱ）由（I）可设点M的坐标为 ，且F（1，0），求出向量坐标，利用向量的数量积求出cos∠OMF取得最小值时，∠OMF最大，由此可得M的坐标及直线AB的方程，利用弦长公式和点到线的距离公式求解三角形的面积的即可．

（I）椭圆的右焦点的坐标为，

设所在直线为 ，且 ，

联立，得，

其中，，点坐标为，

联立得点坐标为，

所以点坐标满足直线方程，故点在定直线上.

（Ⅱ）由（I）可设坐标为，，不妨取，

则，，

，当且仅当时等号成立，

因为在上为减函数，所以时，取到最大值.

由，得坐标为，，

直线方程，即，

，， ，

点到直线的距离，

所以的面积