Question

已知函数f（x）=x³+bx²+cx+2．
（1）若f（x）在x=1时，有极值-1，求b、c的值；
（2）当b为非零实数时，f（x）是否存在与直线（b²-c）x+y+1=0平行的切线，如果存在，求出切线的方程，如果不存在，说明理由；
（3）设函数f（x）的导函数为f′（x），记函数|f′（x）|（-1≤x≤1）的最大值为M，求证：M≥．

Answer 1

解：（1）求导函数，可得f′（x）=3x²+2bx+c
∵f（x）在x=1时，有极值-1，
∴f′（1）=0，f（1）=-1
∴3+2b+c=0，1+b+c+2=-1
∴b=1，c=-5；…（3分）
（2）假设f（x）图象在x=t处的切线与直线（b²-c）x+y+1=0平行，
∵f′（t）=3t²+2bt+c，直线（b²-c）x+y+1=0的斜率为c-b²，
∴3t²+2bt+c=c-b²，
∴3t²+2bt+b²=0
∴△=4b²-12b²=-8b²，
又∵b≠0，∴△＜0．
从而3t²+2bt+b²=0无解，因此不存在t，使f′（t）=c-b²，
故f（x）图象不存在与直线（b²-c）x+y+1=0平行的切线．…（8分）
（3）∵|f′（x）|=|，
①若|-|＞1，即b＞3或b＜-3时，M应为f′（-1）与f′（1）中最大的一个，
∴2M≥|f′（-1）|+|f′（1）|≥|f′（-1）-f′（1）|≥|4b|＞12
∴M＞6＞…（10分）
②若-3≤b≤0时，2M≥|f′（-1）|+|f′（-）|≥|f′（-1）-f′（-）|=|（b-3）²|≥3，
∴M≥…（12分）
③若0＜b≤3时，2M≥|f′（1）|+|f′（-）|≥|f′（1）-f′（-）|=|（b+3）²|＞3，
∴M＞
综上，M≥…（14分）
分析：（1）求导函数，利用f（x）在x=1时，有极值-1，建立方程，由此可求b、c的值；
（2）假设f（x）图象在x=t处的切线与直线（b²-c）x+y+1=0平行，从而f′（t）=c-b²，利用方程△＜0，可得结论；
（3）|f′（x）|=|，分类讨论：①若|-|＞1，即b＞3或b＜-3时，M应为f′（-1）与f′（1）中最大的一个；②若-3≤b≤0时，2M≥|f′（-1）|+|f′（-）|；③若0＜b≤3时，2M≥|f′（1）|+|f′（-）|，由此可得结论．
点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查不等式的证明，考查分类讨论的数学思想，综合性强．