Question

某一电视频道在一天内有x次插播广告的时段，一共播放了y条广告，第1次播放了1条和余下的y-1条的

1

8

，第2次播放了2条以及余下的

1

8

，第3次播放了3条以及余下的

1

8

，以后每次按此规律插播广告，在第x次播放了余下的x条（x＞1）．
（1）设第k次播放后余下a_k条，这里a₀=y，a_x=0，求a_k与a_k-1的递推关系式．
（2）求这家电视台这一天内播放广告的时段x与广告的条数y．

Answer 1

分析：（1）依题意，第k次播放了k+

1

8

（a_k-1-k）=

1

8

a_k-1+

7

8

k，由此能够推导出a_k与a_k-1的递推关系式．
（2）由a₀=1+

8

7

a₁=1+2×

8

7

+3×（

8

7

）²++x×（

8

7

）^x-1+（

8

7

）^xa_x推导出y=1+2×

8

7

+3×（

8

7

）²++x×（

8

7

）^x-1，用错位相减法求和，可得y=49+（x-7）×

8x

7x-1

．由此可得到这家电视台这一天播放广告的时段为7段，广告的条数为49．

解答：解：（1）依题意，第k次播放了
k+

1

8

（a_k-1-k）=

1

8

a_k-1+

7

8

k，
∴a_k=a_k-1-（

1

8

a_k-1+

7

8

k）．
∴a_k-1=k+

8

7

a_k，
即a_k与a_k-1的递推关系式为a_k-1=k+

8

7

a_k．
（2）∵a₀=1+

8

7

a₁
=1+

8

7

（2+

8

7

a₂）
=1+2×

8

7

+（

8

7

）²a₂
=1+2×

8

7

+3×（

8

7

）²+（

8

7

）³a₃
=1+2×

8

7

+3×（

8

7

）²++x×（

8

7

）^x-1+（

8

7

）^xa_x．
∵a_x=0，
∴y=1+2×

8

7

+3×（

8

7

）²++x×（

8

7

）^x-1．
用错位相减法求和，可得y=49+（x-7）×

8x

7x-1

．∴y∈N*，∴x-7=0．∴

x=7 y=49.

故这家电视台这一天播放广告的时段为7段，广告的条数为49．

点评：本题考查数列的性质和运用，解题时要认真审题．仔细解答．