Question

【题目】如图在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD= AD，设E、F分别为PC、BD的中点．

（1）求证：EF∥平面PAD；
（2）求证：面PAB⊥平面PDC；
（3）求二面角B﹣PD﹣C的正切值．

Answer 1

【答案】
（1）

证明： ABCD为平行四边形，

连结AC∩BD=F，F为AC中点，E为PC中点，

∴在△CPA中EF∥PA，且PA平面PAD，EF平面PAD，

∴EF∥平面PAD；

（2）

证明：因为面PAD⊥面ABCD，平面PAD∩面ABCD=AD，ABCD为正方形，

∴CD⊥AD，CD平面ABCD，

所以CD⊥平面PAD，∴CD⊥PA，

又 ，

所以△PAD是等腰直角三角形，且 ，即PA⊥PD，

CD∩PD=D，且CD、PD面ABCD，PA⊥面PDC，

又PA面PAB，

∴面PAB⊥面PDC；

（3）

解：设PD的中点为M，连结EM，MF，则EM⊥PD，

由（2）知EF⊥面PDC，EF⊥PD，PD⊥面EFM，PD⊥MF，∠EMF是二面角B﹣PD﹣C的平面角，

Rt△FEM中， ， ， ，

故所求二面角的正切值为 ；

【解析】（1）利用线面平行的判定定理：连接AC，只需证明EF∥PA，利用中位线定理即可得证；（2）利用面面垂直的判定定理：只需证明PA⊥面PDC，进而转化为证明PA⊥PD，PA⊥DC，易证三角形PAD为等腰直角三角形，可得PA⊥PD；由面PAD⊥面ABCD的性质及正方形ABCD的性质可证CD⊥面PAD，得CD⊥PA；（3）设PD的中点为M，连结EM，MF，则EM⊥PD，由（2）可证PD⊥平面EFM，则∠EMF是二面角B﹣PD﹣C的平面角，通过解Rt△FEM可得所求二面角的正切值；
【考点精析】解答此题的关键在于理解直线与平面平行的判定的相关知识，掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行，以及对平面与平面垂直的判定的理解，了解一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．