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在△ABC中,已知角A,B,C的对边分别是a,b,c,且a2+b2-c2=
3
ab

(1)求角C的大小;
(2)如果0<A≤
3
m=2cos2
A
2
-sinB-1
,求实数m的取值范围.
分析:(1)根据题中的等式,利用余弦定理算出cosC=
a2+b2-c2
2ab
=
3
2
,结合C是三角形的内角,可得∠C的大小;(2)由二倍角公式与诱导公式,化简得m=cosA-sin(A+C)=cosA-sin(A+
π
6
)
,再利用两角和的正弦公式与辅助角公式,推出m=cos(A+
π
3
)
,再结合0<A≤
3
利用余弦函数的图象与性质,即可算出实数m的取值范围.
解答:解:(1)∵在△ABC中,a2-c2+b2=
3
ab,
∴根据余弦定理,得cosC=
a2+b2-c2
2ab
=
3
ab
2ab
=
3
2

又∵C是三角形的内角,可得0<C<π,
∴C=
π
6

(2)∵cos2
A
2
=
1
2
(1+cosA)
,sinB=sin(π-B)=sin(A+C),C=
π
6

m=2cos2
A
2
-sinB-1
=cosA-sin(A+C)=cosA-sin(A+
π
6
)

=cosA-(sinAcos
π
6
+cosAsin
π
6
)=cosA-
3
2
sinA-
1
2
cosA

=
1
2
cosA-
3
2
sinA=cosAcos
π
3
-sinAsin
π
3
=cos(A+
π
3
)

0<A≤
3

可得
π
3
<A+
π
3
≤π

-1≤cos(A+
π
3
)<
1
2

即m的取值范围是[-1,
1
2
)
点评:本题已知三角形的边满足的平方关系式,求角C的大小并依此求实数m的取值范围.着重考查了三角恒等变换公式、三角函数的图象与性质与余弦定理等知识,属于中档题.
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3
c=
2
,则B=
 
,A=
 

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2
2
3

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B+C
2
+sin2
A
2
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2
S△ABC=
2
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π
3
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3
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