Question

（选修4-2：矩阵与变换）
已知矩阵A=

3 3 c d

，若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为α₁=

1 1

，属于特征值1的一个特征向量为α₂=

3 -2

．
①求矩阵A；②求直线y=x+2在矩阵A的作用下得到的曲线方程．

Answer 1

分析：①根据特征值的定义可知Aα=λα，利用待定系数法建立四个等式关系，解二元一次方程组即可．
②设直线y=x+2上任意一点（x₀，y₀），（x'，y'）是所得的直线上一点，根据矩阵变换特点，写出两对坐标之间的关系，把已知的点的坐标用未知的坐标表示，代入已知直线的方程，得到结果．

解答：解：①由矩阵A属于特征值6的一个特征向量为 α1=

1 1

可得

3  3 c  d

 

1 1

=6

1 1

，
即

3+3=6 c+d=6

；
由矩阵A属于特征值1的一个特征向量为 α2=

3 -2

，可得

3  3 c  d

 

3   -2

=

3   -2

，
即

3×3-3×2=3 3c-2d=-2

解得

c=2 d=4

，即矩阵 A=

3 3 2 4

．
②设y=x+2上一点（x₀，y₀）在A作用下变为（x′，y′），
则

3 3 2 4

x0 y0

=

x′ y′

，
∴

3x0+3y0 2 x0+4y0

=

x′ y′

，
∴

x′=3x0+3y0 y′=2x0+4y0

，∴

x0= 2 3 x′- 1 2 y′ y0= 1 2 y′  - 1 3 x′

，
∵y₀=x₀+2，代入得

1

2

y′-

1

3

x′=

2

3

x′-

1

2

y′+2，
化简，得y′=x′+2，
∴变换后的直线方程是：y=x+2．

点评：本题主要考查了二阶矩阵，以及特征值与特征向量的计算，考查矩阵的变换，属于基础题．