Question

已知函数y=f（x）由下列关系式确定：xy＞0，且4x²+9y²=36．
（ I）求出函数y=f（x）的解析式，并在所给坐标系中画出y=f（x）的图象；
（ II）判断f（x）的奇偶性，并证明．

Answer 1

分析：（I）已知xy＞0，且4x²+9y²=36，其实是一个椭圆，解出y关于x的解析式，注意定义域；
（II）先看f（x）的定义域是否对称，分两种情况，再验证f（-x）与f（x）的关系从而求解；

解答：解：（1）∵xy＞0，且4x²+9y²=36．
∴当x＜0时，y=-

4- 4 9 x2

=-2

1- 1 9 x2

；
当x＞0时，y=

4- 4 9 x2

=2

1- 1 9 x2

．
所以，f(x)=

2 1- 1 9 x2 ，x＞0 -2 1- 1 9 x2 ，x＜0.

（6分）（其中作图2分）

（2）f（x）的定义域为（-3，0）∪（0，3）；                            （7分）
当x＞0时，-x＜0，f(-x)=-2

1- 1 9 (-x)2

=-f(x)；
当x＜0时，-x＞0，f(-x)=2

1- 1 9 (-x)2

=-f(x)
所以，f（x）在（-3，0）∪（0，3）上为奇函数．                         （12分）

点评：此题主要考查函数的图象和函数奇偶性的判断，利用了分类讨论的思想，仔细观察其实是椭圆的左右两部分，此题是道基础题．