Question

【题目】函数f(x)＝x3－kx，其中实数k为常数．

(1)当k＝4时，求函数的单调区间；

(2)若曲线y＝f(x)与直线y＝k只有一个交点，求实数k的取值范围．

Answer 1

【答案】(1)单调递增区间是(－∞，－2)，(2，＋∞)；单调递减区间是(－2,2)．(2) k<.

【解析】试题分析：（1）将参数值代入得到表达式，求导，研究导函数的正负情况，得到单调性。（2）构造函数g(x)＝f(x)－k，研究这个函数的单调性，使得这个函数和轴有且只有一个交点等价于g(－)<0，解出k的范围即可。

解析：

(1)因为f′(x)＝x2－k，

当k＝4时，f′(x)＝x2－4，

令f′(x)＝x2－4＝0，

所以x1＝2，x2＝－2.

f′(x)、f(x)随x的变化情况如下表：

x	(－∞，－2)	－2	(－2，2)	2	(2，＋∞)
f′(x)	＋	0	－	0	＋
f(x)	?	极大值	?	极小值	?

所以f(x)的单调递增区间是(－∞，－2)，(2，＋∞)；单调递减区间是(－2,2)．

(2)令g(x)＝f(x)－k，由题意知，g(x)只有一个零点．

因为g′(x)＝f′(x)＝x2－k.

当k＝0时，g(x)＝x3，

所以g(x)只有一个零点0.

当k<0时，g′(x)＝x2－k>0对x∈R恒成立，所以g(x)单调递增，所以g(x)只有一个零点．

当k>0时，令g′(x)＝f′(x)＝x2－k＝0，解得x1＝或x2＝－.

g′(x)，g(x)随x的变化情况如下表：

x	(－∞，－ )	－	(－， )		(，＋∞)
g′(x)	＋	0	－	0	＋
g(x)	?	极大值	?	极小值	?

g(x)有且仅有一个零点等价于g(－)<0，即k－k<0，解得0<k<.

综上所述，k的取值范围是k<.