Question

【题目】已知f(xy)＝f(x)＋f(y)．

(1) 若x，y∈R，求f(1)，f(－1)的值； (2)若x，y∈R，判断y＝f(x)的奇偶性；

(3)若函数f(x)在其定义域(0，＋∞)上是增函数，f(2)＝1，f(x)＋f(x－2)≤3，求x的取值范围。

Answer 1

【答案】（1）f(1)＝0.f(－1)＝0（2）偶函数(3) (2,4]

【解析】

(1)利用赋值法可得f(1)，f(－1)的值；(2)令y＝－1 ,则可得f(－x)＝f(x)，即得结果,(3)先根据定义得f[x(x－2)]≤f(8),再根据单调性化简不等式,解得结果.

解：(1)令x＝y＝1，则f(1)＝f(1)＋f(1)，所以f(1)＝0.

又令x＝y＝－1，则f(1)＝f(－1)＋f(－1)， 所以f(－1)＝0.

(2)令y＝－1，则f(－x)＝f(x)＋f(－1)，由(1)知f(－1)＝0，

所以f(－x)＝f(x)，即函数f(x)为偶函数．

(3)因为f(4)＝f(2)＋f(2)＝1＋1＝2，所以f(8)＝f(2)＋f(4)＝1＋2＝3，

因为f(x)＋f(x－2)≤3， 所以f[x(x－2)]≤f(8)，

因为f(x)在(0，＋∞)上是增函数，所以即

所以x的取值范围是(2,4]．