Question

17．已知S_n是数列{a_n}的前n项和，且2a_n-S_n=2（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=log₂a_n（n∈N^*），求数列{a_2n+b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用递推式、等比数列的通项公式即可得出；
（2）利用等差数列与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）∵2a_n-S_n=2（n∈N^*），
∴当n=1时，2a₁-a₁=2，解得a₁=2．
当n≥2时，2a_n-1-S_n-1=2，2a_n-a_n-2a_n-1=0，化为a_n=2a_n-1，
∴数列{a_n}是等比数列，首项为2，公比为2，
∴a_n=2ⁿ．
（2）b_n=log₂a_n=n，
∴a_2n+b_n=2²ⁿ+n=4ⁿ+n．
∴数列{a_2n+b_n}的前n项和T_n=$\frac{4（{4}^{n}-1）}{4-1}$+$\frac{n（n+1）}{2}$=$\frac{4}{3}（{4}^{n}-1）$+$\frac{n（n+1）}{2}$．

点评 本题考查了递推式的应用、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．