【题目】为了了解甲、乙两所学校全体高三年级学生在该地区八校联考中的数学成绩情况,从两校各随机抽取60名学生,将所得样本作出频数分布统计表如下: 甲校:
分组 | [70,80) | [80,90) | [90,100) | [100,110) |
频数 | 2 | 5 | 9 | 10 |
分组 | [110,120) | [120,130) | [130,140) | [140,150] |
频数 | 14 | 10 | 6 | 4 |
乙校:
分组 | [70,80) | [80,90) | [90,100) | [100,110) |
频数 | 2 | 4 | 8 | 16 |
分组 | [110,120) | [120,130) | [130,140) | [140,150] |
频数 | 15 | 6 | 6 | 3 |
以抽样所得样本数据估计总体
(1)比较甲、乙两校学生的数学平均成绩的高低;
(2)若规定数学成绩不低于120分为优秀,从甲、乙两校全体高三学生中各随机抽取2人,其中数学成绩为优秀的共X人,求X的分布列及数学期望.
【答案】
(1)解:计算甲的平均数为
= ×(75×2+85×4+95×8+105×16+115×15+125×6+135×6+145×3)=110.8,
乙的平均数为
= ×(75×2+85×5+95×9+105×10+115×14+125×10+135×6+145×4)=112.2;
所以乙校学生的数学平均成绩高于甲校
(2)解:由上表可知,甲、乙两校学生的优秀率分别为 、 ,
X=0,1,2,3,4;
P(X=0)= × = ,P(X=1)= + = ,
P(X=2)= × + × +
P(X=3)= + = ,
P(X=4)= × = ;
所以X的分布列为:
X | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
P |
数学期望为E(X)=0× +1× +2× +3× +4× =
【解析】(1)计算甲、乙的平均数,比较即可得出结论;(2)由题意知,甲、乙两校学生的优秀率分别为 、 ,X的可能取值是0,1,2,3,4;计算对应的概率,写出X的分布列,求出数学期望值.
【考点精析】解答此题的关键在于理解离散型随机变量及其分布列的相关知识,掌握在射击、产品检验等例子中,对于随机变量X可能取的值,我们可以按一定次序一一列出,这样的随机变量叫做离散型随机变量.离散型随机变量的分布列:一般的,设离散型随机变量X可能取的值为x1,x2,.....,xi,......,xn,X取每一个值 xi(i=1,2,......)的概率P(ξ=xi)=Pi,则称表为离散型随机变量X 的概率分布,简称分布列.
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【题目】如图,公园有一块边长为2的等边△ABC的边角地,现修成草坪,图中DE把草坪分成面积相等的两部分,D在AB上,E在AC上.
(1)设AD=x(x≥1),ED=y,求用x表示y的函数关系式;
(2)如果DE是灌溉水管,为节约成本,希望它最短,DE的位置应在哪里?如果DE是参观线路,则希望它最长,DE的位置又应在哪里?请予证明.
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【题目】设常数a≥0,函数f(x)=x﹣ln2x+2alnx﹣1
(1)令g(x)=xf'(x)(x>0),求g(x)的最小值,并比较g(x)的最小值与0的大小;
(2)求证:f(x)在(0,+∞)上是增函数;
(3)求证:当x>1时,恒有x>ln2x﹣2alnx+1.
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【题目】在直角坐标系xOy中,圆C1和C2的参数方程分别是 (φ为参数)和 (φ为参数),以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求圆C1和C2的极坐标方程;
(2)射线OM:θ=a与圆C1的交点为O、P,与圆C2的交点为O、Q,求|OP||OQ|的最大值.
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【题目】为了了解甲、乙两个工厂生产的轮胎的宽度是否达标,分别从两厂随机各选取了个轮胎,将每个轮胎的宽度(单位: )记录下来并绘制出如下的折线图:
(1)分别计算甲、乙两厂提供的个轮胎宽度的平均值;
(2)轮胎的宽度在内,则称这个轮胎是标准轮胎.
(i)若从甲乙提供的个轮胎中随机选取个,求所选的轮胎是标准轮胎的概率;
(ii)试比较甲、乙两厂分别提供的个轮胎中所有标准轮胎宽度的方差大小,根据两厂的标准轮胎宽度的平均水平及其波动情况,判断这两个工厂哪个厂的轮胎相对更好?
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【题目】已知数列{an}中,已知a1=1,a2=a,an+1=k(an+an+2)对任意n∈N*都成立,数列{an}的前n项和为Sn .
(1)若{an}是等差数列,求k的值;
(2)若a=1,k=﹣ ,求Sn;
(3)是否存在实数k,使数列{am}是公比不为1的等比数列,且任意相邻三项am , am+1 , am+2按某顺序排列后成等差数列?若存在,求出所有k的值;若不存在,请说明理由.
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