Question

（2012•南充三模）已知M（-2，0），N（2，0）两点，动点P在y轴上的射影为H，且使

PH

•

PH

与

PM

•

PN

分别是公比为2的等比数列的第三、四项．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）已知过点N的直线l交曲线C于x轴下方两个不同的点A、B，设R为AB的中点，若过点R与定点Q（0，-2）的直线交x轴于点D（x₀，0），求x₀的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用

PH

•

PH

与

PM

•

PN

分别是公比为2的等比数列的第三、四项．可求动点P的轨迹C的方程；
 （2）将直线方程与曲线方程联立，从而可表达出直线RQ的方程，进而可求x₀的取值范围．

解答：解：（1）M（-2，0），N（2，0），设动点P的坐标为（x，y），所以H（0，y），
所以

PH

=(-x，0)，

PM

=(-2-x，-y)，

PN

=(2-x，-y)

PH

•

PH

=x2，…（3分）

PM

•

PN

=-(4-x2)+y2…（5分），
由条件，得y²-x²=4，又因为是等比，所以x²≠0，
所以，所求动点的轨迹方程y²-x²=4（x≠0）．…（7分）
（2）设直线l的方程为y=k（x-2），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立方程组得，

y=k(x-2) y2-x2=4

∴(1-

1

k2

)y2-

4

k

y-8=0．
∴y1+y2=

4k

k2-1

，y1•y2=-

8k2

k2-1

．
∴

4k k2-1 ＜0 - 8k2 k2-1 ＞0 △＞0

解得：

2

2

＜k＜1，…（10分）
R(

2k2

k2-1

，

2k

k2-1

)，kRQ=

k2+k-1

k2

，…（12分）
直线RQ的方程为y+2=

k2+k-1

k2

x，
∴x0=

2k2

k2+k-1

=

2

-( 1 k - 1 2 )2+ 5 4

，
∴2＜x0＜2+2

2

．…（15分）

点评：本题以数列为载体，考查向量知识的运用，考查轨迹的求法，考查直线与曲线的位置关系，关键是将直线与曲线联立求解．