Question

如图，ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，∠BAD=60°．
（1）证明：面PBD⊥面PAC；
（2）求锐二面角A-PC-B的余弦值．

Answer 1

分析：（1）根据菱形的对角线互相垂直及线面垂直的性质，可得AC⊥BD，PA⊥BD，由线面垂直的判定定理可得BD⊥面 PAC，再由面面垂直的判定定理可得面PBD⊥面PAC；
（2）以OA、OB、OQ所在直线分别为x轴、z轴，建立空间直角坐标系O-xyz，分别求出平面PAC的法向量和平面PBC的法向量，代入向量夹角公式，可得答案．

解答：证明：（1）因为四边形ABCD是菱形，
所以AC⊥BD
因为PA⊥平面ABCD，
所有PA⊥BD．…（2分）
又因为PA∩AC=A，
所以BD⊥面 PAC．…（3分）
而BD?面PBD，
所以面PBD⊥面PAC．…（5分）
解：（2）如图，设AC∩BD=O．取PC的中点Q，连接OQ．
在△APC中，AO=OC，CQ=QP，OQ为△APC的中位线，所以OQ∥PA．
因为PA⊥平面ABCD，
所以OQ⊥平面ABCD，…（6分）
以OA、OB、OQ所在直线分别为x轴、z轴，建立空间直角坐标系O-xyz
则A（

3

，0，0），B（0，1，0），C（-

3

，0，0），P（

3

，0，2）…（7分）
因为BO⊥面PAC，
所以平面PAC的一个法向量为

OB

=（0，1，0），…（8分）
设平面PBC的一个法向量为

n

=（x，y，z）
而

BC

=（-

3

，-1，0），

PB

=（-

3

，1，-2）
由

n • BC =0 n • PB =0

得

- 3 x-y=0 - 3 x+y-2z=0

令x=1，则y=-

3

，z=-

3

，
所以

n

=（1，-

3

，-

3

）为平面PBC的一个法向量．…（10分）
cos＜

OB

，

n

＞=

| OB • n |

| OB |•| n |

=

21

7

…（12分）

点评：本题考查的知识点是线面的判定，面面垂直的判定，二面角的求法，其中（1）的关键是熟练掌握线线垂直，线面垂直，面面垂直之间的相互转化，（2）的关键是建立空间坐标系，将二面角问题转化为向量夹角问题．