【题目】在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,E,F分别为A1B1 , CD的中点.
(1)求| |
(2)求直线EC与AF所成角的余弦值;
(3)求二面角E﹣AF﹣B的余弦值.
【答案】
(1)解:在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,
建立如图所示的空间直角坐标系.则
A(2,0,0),F(0,1,0),C(0,2,0),E(2,1,2),
,
∴
(2)解:∵ , ,
∴
∴直线EC与AF所成角的余弦值为
(3)解:平面ABCD的一个法向量为
设平面AEF的一个法向量为 ,
∵ , ,
∴ ,令x=1,则y=2,z=﹣1 ,
则
由图知二面角E﹣AF﹣B为锐二面角,其余弦值为
【解析】(1)建立空间直角坐标系.利用向量法能求出| |.(2)求出 , ,利用向量法能求出直线EC与AF所成角的余弦值.(3)求出平面ABCD的一个法向量和平面AEF的一个法向量,利用向量法能求出二面角E﹣AF﹣B的余弦值.
【考点精析】利用异面直线及其所成的角对题目进行判断即可得到答案,需要熟知异面直线所成角的求法:1、平移法:在异面直线中的一条直线中选择一特殊点,作另一条的平行线;2、补形法:把空间图形补成熟悉的或完整的几何体,如正方体、平行六面体、长方体等,其目的在于容易发现两条异面直线间的关系.
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【题目】(本小题满分12分)
某学校简单随机抽样方法抽取了100名同学,对其日均课外阅读时间:(单位:分钟)进行调查,结果如下:
若将日均课外阅读时间不低于60分钟的学生称为“读书迷”
(1)将频率视为概率,估计该校4000名学生中“读书迷”有多少人?
(2)从已抽取的8名“读书迷”中随机抽取4位同学参加读书日宣传活动.
①求抽取的4为同学中有男同学又有女同学的概率;
②记抽取的“读书迷”中男生人数为X,求X的分布列和数学期望.
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【题目】已知定义域为R的函数f(x)= 是奇函数.
(Ⅰ)求a,b的值;
(Ⅱ)若对任意的t∈R,不等式f(t2﹣2t)+f(2t2﹣k)<0恒成立,求k的取值范围.
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【题目】已知函数f(x)=ln .
(1)求函数f(x)的定义域,并判断函数f(x)的奇偶性;
(2)对于x∈[2,6],f(x)>ln 恒成立,求实数m的取值范围.
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【题目】已知函数f(x)=( )x , g(x)=x2 , 对于不相等的实数x1 , x2 , 设m= ,n= ,则下列说法正确的有( )
①对于任意不相等的实数x1 , x2 , 都有m<0;
②对于任意不相等的实数x1 , x2 , 都有n<0;
③存在不相等的实数x1 , x2 , 使得m=n.
A.①
B.①③
C.②③
D.①②③
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【题目】
已知数列{an}的各项均为正数,记数列{an}的前n项和为Sn,数列{an2}的前n项和为Tn,且3Tn=Sn2+2Sn,n∈N*.
(Ⅰ)求a1的值;
(Ⅱ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅲ)若k,t∈N*,且S1,Sk-S1,St-Sk成等比数列,求k和t的值.
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【题目】设函数f(x)= x3+ax2﹣8x﹣1(a<0).若曲线y=f(x)的切线斜率的最小值是﹣9.求:
(1)a的值;
(2)函数f(x)的极值.
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