Question

如图，多面体OABCD，AB=CD=2，AD=BC=2

3

，AC=BD=

10

，且OA，OB，OC两两垂直，给出下列4个结论：
①三棱锥O-ABC的体积是定值；
②直线AD与OB所成的角是60°；
③球面经过点A、B、C、D两点的球的直径是

13

；
④直线OB∥平面ACD．
其中正确的结论是

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：计算题,空间位置关系与距离,空间角

分析：构造长方体，设OA=x，OB=y，OC=z，则x²+y²=4，x²+z²=10，y²+z²=12，解得，x=1，y=

3

，z=3，运用棱锥的体积公式，即可判断①；运用异面直线所成角的定义，即可判断②；球面经过点A、B、C、D两点的球的直径即为长方体的对角线长，即可判断③；由于OB∥AE，AE和平面ACD相交，即可判断④．

解答： 解：构造长方体，如右图，设OA=x，OB=y，OC=z，
则x²+y²=4，x²+z²=10，y²+z²=12，解得，x=1，y=

3

，z=3，
对于①，三棱锥O-ABC的体积为

1

3

OC•S_△OAB=

1

3

×3×

1

2

×1×

3

=

3

2

，故①对；
对于②，由于OB∥AE，则∠DAE即为直线AD与OB所成的角，
由tan∠DAE=

3

3

，则∠DAE=60°，故②对；
对于③，球面经过点A、B、C、D两点的球的直径即为长方体的对角线长，
即为

12+( 3 )2+32

=

13

，故③对；
对于④，由于OB∥AE，AE和平面ACD相交，则OB和平面ACD相交，故D错．
故答案为：①②③

点评：本题考查线面的位置关系的判断，空间异面直线所成的角，以及三棱锥的体积的计算和多面体的外接球的关系，考查运算能力，属于中档题和易错题．