已知函数(
为常数),其图象是曲线
.
(1)当时,求函数
的单调减区间;
(2)设函数的导函数为
,若存在唯一的实数
,使得
与
同时成立,求实数
的取值范围;
(3)已知点为曲线
上的动点,在点
处作曲线
的切线
与曲线
交于另一点
,在点
处作曲线
的切线
,设切线
的斜率分别为
.问:是否存在常数
,使得
?若存在,求出
的值;若不存在,请说明理由.
(1);(2)
;(3)当
时,存在常数
,使
;当
时,不存在常数
,使
.
【解析】
试题分析:(1)这是一个求函数单调递减区间的问题,比较简单,可以通过导数的符号去判断;(2)这是一个两方程有公共解且公共解唯一的问题,消去参数后就转化为含有参数
的关于未知数
的三次方程有唯一解的问题,可利用三次函数的图象判断;(3)可设
,然后把点
的坐标和
都用
表示,再考察关于
的等式
恒成立,从而去确定常数
是否存在.
试题解析:(1)当时,
. 2分
令f ?(x)<0,解得,f(x)的单调减区间为
. 4分
(2) ,
由题意知消去
,得
有唯一解. 6分
令,则
,
以在区间
,
上是增函数,在
上是减函数, 8分
又,
,
故实数的取值范围是
. 10分
(3) 设,则点
处切线方程为
,
与曲线:
联立方程组,得
,即
,所以
点的横坐标
. 12分
由题意知,,
,
若存在常数,使得
,则
,
即常数,使得
,
所以常数,使得
解得常数
,使得
,
. 15分
故当时,存在常数
,使
;当
时,不存在常数
,使
.16分
考点:函数与方程、导数的综合应用.
科目:高中数学 来源:2016届浙江省宁波市八校高一上学期期末联考数学试卷(解析版) 题型:解答题
已知函数(
为常数,且
).
(1)当时,求函数
的最小值(用
表示);
(2)是否存在不同的实数使得
,
,并且
,若存在,求出实数
的取值范围;若不存在,请说明理由.
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科目:高中数学 来源:2012-2013学年河南省南阳市高三9月月考理科数学试卷(解析版) 题型:解答题
(本小题满分10分)
已知函数(
为常数,
且
)的图象过点
.
(1)求实数的值;
(2)若函数,试判断函数
的奇偶性,并说明理由.
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科目:高中数学 来源:2011年广东省高二上学期段考数学卷 题型:解答题
已知函数(
为常数,
),满足
,且
有两个相同的解。
(1)求的表达式;
(2)设数列满足
,且
,求证:数列
是等差数列。
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科目:高中数学 来源:2010-2011学年吉林省高三第一次模拟考试理科数学卷 题型:解答题
(本小题满分12分)
已知函数(
为常数),直线l与函数
的图象都相切,且l与函数
的图象的切点的横坐标为l.
(Ⅰ)求直线l的方程及a的值;
(Ⅱ)当k>0时,试讨论方程的解的个数.
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