Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（﹣1，1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于﹣ ．
（1）求动点P的轨迹方程；
（2）设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M，N，问：是否存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：因为点B与A（﹣1，1）关于原点O对称，所以点B得坐标为（1，﹣1）．

设点P的坐标为（x，y）

化简得x2+3y2=4（x≠±1）．

故动点P轨迹方程为x2+3y2=4（x≠±1）

（2）解：若存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等，设点P的坐标为（x0，y0）

则 ．

因为sin∠APB=sin∠MPN，

所以

所以 =

即（3﹣x0）2=|x02﹣1|，解得

因为x02+3y02=4，所以

故存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等，此时点P的坐标为（ ）

【解析】（1）设点P的坐标为（x，y），先分别求出直线AP与BP的斜率，再利用直线AP与BP的斜率之间的关系即可得到关系式，化简后即为动点P的轨迹方程；（2）对于存在性问题可先假设存在，由面积公式得： ．根据角相等消去三角函数得比例式，最后得到关于点P的纵坐标的方程，解之即得．
【考点精析】掌握点到直线的距离公式是解答本题的根本，需要知道点到直线的距离为：．