Question

平面α⊥平面β，平面α交β于直线l，A，C∈l，P∈β，B∈α，且PA⊥AC，∠ABC=90°，若A在PB，PC上的射影分别为E，F．求证：PC⊥面AEF．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：由已知条件推导出BC⊥平面PAB，从而得到AE⊥平面PBC，由此能证明PC⊥面AEF．

解答： 证明：∵平面α⊥平面β，平面α交β于直线l，
A，C∈l，P∈β，B∈α，且PA⊥AC，
∴PA⊥平面α，
又BC?平面α，∴PA⊥BC，
又∠ABC=90°，∴BC⊥AB，
又PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB，
∵AE?平面PAB，∴BC⊥AE，
又AE⊥PB，PB∩BC=B，
∴AE⊥平面PBC，
又PC?平面PBC，∴AE⊥PC，
又AF⊥PC，AE∩AF=A，
∴PC⊥面AEF．

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．