Question

定义：离心率的椭圆为“黄金椭圆”，已知椭圆的一个焦点为F（c，0）（c＞0），P为椭圆E上的任意一点．
（1）试证：若a，b，c不是等比数列，则E一定不是“黄金椭圆”；
（2）没E为黄金椭圆，问：是否存在过点F、P的直线l，使l与y轴的交点R满足？若存在，求直线l的斜率k；若不存在，请说明理由；
（3）已知椭圆E的短轴长是2，点S（0，2），求使取最大值时点P的坐标．

Answer 1

解：（1）假设E为黄金椭圆，则，即…（1分）
∴b²=a²-c²
=
=
=ac．…（3分）
即a，b，c成等比数列，与已知矛盾，
故椭圆E一定不是“黄金椭圆”．…（4分）
（2）依题假设直线l的方程为y=k（x-c），
令x=0，y=-kc，即点R的坐标为（0，-kc），
∵，点F（c，0），
∴点P的坐标为（2c，kc）…（6分）
∴点P在椭圆上，
∴．
∵b²=ac，∴4e²+k²e=1，
故，与k²≥0矛盾．
所以，满足题意的直线不存在．…（9分）
（3）依题有b²=1，由点P（x₁，y₁）在E上知x₁²=a²（1-y₁²），
∴=x₁²+（y₁-2）²
=（1-a²）y₁²-4y₁+（a²+4）
=（1-a²）．
∵a＞1，
∴1-a²＜0，又-1≤y₁≤1，…（11分）
①当时，，
∴SP²是y₁∈[-1，1]的减函数，
故y₁=-1时，SP²取得最大值，此时点P的坐标是（0，-1）．
②当时，，
∴时，取得最大值，
此时点P的坐标是…（14分）
分析：（1）假设E为黄金椭圆，则，所以b²=a²-c²==ac，与已知矛盾，故椭圆E一定不是“黄金椭圆”．
（2）依题假设直线l的方程为y=k（x-c），令x=0，y=-kc，即点R的坐标为（0，-kc），由，点F（c，0），知点P的坐标为（2c，kc），所以点P在椭圆上，由此导出，与k²≥0矛盾．所以，满足题意的直线不存在．
（3）依题有b²=1，由点P（x₁，y₁）在E上知x₁²=a²（1-y₁²），所以=x₁²+（y₁-2）²=（1-a²）．由此能求出点P的坐标．
点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．