Question

在R上可导的函数f（x）=

1

3

x³+

1

2

ax²+2bx+c，当x∈（0，1）时取得极大值，当x∈（1，2）时取得极小值，则

b-2

a-1

的取值范围是（　　）

• A．（-

  1

  2

  ，

  1

  2

  ）
• B．（-

  1

  2

  ，

  1

  4

  ）
• C．（

  1

  4

  ，1）
• D．（

  1

  2

  ，1）

Answer 1

分析：求出原函数的导函数，由当x∈（0，1）时取得极大值，当x∈（1，2）时取得极小值列出关于a，b的不等式组，作出可行域，然后利用

b-2

a-1

的几何意义求其取值范围．

解答：解：由f（x）=

1

3

x³+

1

2

ax²+2bx+c，得f′（x）=x²+ax+2b．
因为当x∈（0，1）时f（x）取得极大值，当x∈（1，2）时取得极小值．
则f′（x）在（0，1）内有一零点d，在（1，2）内有一零点e，即

f′(0)=2b＞0 f′(1)=1+a+2b＜0 f′(2)=4+2a+2b＞0

，
可行域如图，C（-3，1），

而

b-2

a-1

的几何意义是可行域内动点（a，b）与定点M（1，2）连线斜率的取值范围，
由图可知，当直线过MC时斜率最小为
当直线过MA时斜率最大为
故选C．

点评：本题考查了利用导数研究函数的极值，考查了数学转化思想方法，训练了“三个二次的结合”解答此题的关键是由题意得到关于a，b的不等式组，是中档题．