Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F，G，H，M分别是棱AD，DD₁，D₁A₁，A₁A，AB的中点，点N在四边形EFGH的四边及其内部运动，则当N只需满足条件    时，就有MN⊥A₁C₁；当N只需满足条件    时，就有MN∥平面B₁D₁C．

Answer 1

【答案】分析：（1）连接EG、EM、GM、BD，利用正方形AA₁D₁D对边中点连线，得到EG∥AA₁，结合AA₁⊥平面A₁B₁C₁D₁得到EG⊥平面A₁B₁C₁D₁，从而A₁C₁⊥EG．再利用△ABD中的中位线EM∥BD，结合B₁D₁∥BD，得到EM∥B₁D₁，再由A₁C₁⊥B₁D₁得到A₁C₁⊥EM，最后利用线面垂直的判定定理得到A₁C₁⊥平面EGM．因此，当点N在EG上时，直线MN?平面EGM，有MN⊥A₁C₁成立；
（2）连接MH、A₁B，再（1）的基础上有EM∥B₁D₁，结合线面平行的判定定理可得EM∥平面B₁D₁C，同理可得MH∥平面B₁D₁C．最后利用平面与平面平行的判定定理，得到平面EHM∥平面B₁D₁C，所以当点N在EH上时，MN?平面EHM，有MN∥平面B₁D₁C成立．
解答：解：（1）连接EG、EM、GM、BD
∵正方形AA₁D₁D中，E、G分别为AD、A₁D₁的中点
∴EG∥AA₁
∵AA₁⊥平面A₁B₁C₁D₁
∴EG⊥平面A₁B₁C₁D₁
∵A₁C₁?平面A₁B₁C₁D₁
∴A₁C₁⊥EG
∵在△ABD中，EM是中位线
∴EM∥BD
∵BB₁∥DD₁且BB₁=DD₁
∴四边形BB₁D₁D是平行四边形，B₁D₁∥BD
∴EM∥B₁D₁
∵正方形A₁B₁C₁D₁中，A₁C₁⊥B₁D₁
∴A₁C₁⊥EM
∵EM∩EG=E，EM、EG?平面EGM
∴A₁C₁⊥平面EGM
因此，当点N在EG上时，直线MN?平面EGM，有MN⊥A₁C₁成立；
（2）连接MH、A₁B
根据（1）的证明，EM∥B₁D₁
∵EM?平面B₁D₁C，B₁D₁?平面B₁D₁C，
∴EM∥平面B₁D₁C
同理可得MH∥平面B₁D₁C
∵EM∩MH=M，EM、MH?平面EHM
∴平面EHM∥平面B₁D₁C
∴当点N在EH上时，MN?平面EHM，有MN∥平面B₁D₁C成立．
故答案为：点N在EG上，点N在EH上
点评：本题以正方体中的直线与直线平行、直线与直线垂直为例，考查了空间的线面平行和线面垂直等位置关系的证明，属于中档题．