Question

17．在区间D上，如果函数f（x）为增函数，而函数 $\frac{1}{x}$ f（x）为减函数，则称函数f（x）为“弱增函数”，已知函数f（x）=1-$\frac{1}{\sqrt{1+x}}$．
（1）判断函数f（x）在区间（0，1]上是否为“弱增函数”，若f（x）是“弱增函数”，请加以证明；若不是，请说明理由；
（2）当x∈[0，1]时，不等式1-ax≤$\frac{1}{\sqrt{1+x}}$≤1-bx恒成立，求实数a，b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）结合函数单调性的性质，可得：f（x）在区间（0，1]为增函数，化简$\frac{1}{x}$f（x）的解析式为$\frac{1}{1+x+\sqrt{1+x}}$，可得函数减函数，可得f（x）在区间（0，1]为“弱增”函数．
（2）当x∈（0，1]时，不等式等价于：$\left\{\begin{array}{l}a≥\frac{1}{x}f（x）\\ b≤\frac{1}{x}f（x）\end{array}\right.$，由$\frac{1}{x}$f（x）为减函数，可得1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤$\frac{1}{x}$f（x）＜$\frac{1}{2}$，从而求得实数a，b的取值范围．

解答 解：（1）∵y=$\sqrt{1+x}$在区间（0，1]上为增函数，
∴y=$\frac{1}{\sqrt{1+x}}$在区间（0，1]上为减函数，
∴f（x）在区间（0，1]为增函数，
∵$\frac{1}{x}$f（x）=$\frac{1}{x}$（1-$\frac{1}{\sqrt{1+x}}$）=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{x\sqrt{1+x}}$=$\frac{\sqrt{1+x}-1}{x\sqrt{1+x}}$=$\frac{1}{1+x+\sqrt{1+x}}$，
∵y=1+x+$\sqrt{1+x}$在区间（0，1]上为增函数，
∴$\frac{1}{x}$f（x）为减函数，
∴f（x）在区间（0，1]为“弱增”函数．
（2）当x∈[0，1]时，不等式1-ax≤$\frac{1}{\sqrt{1+x}}$≤1-bx恒成立．
当x=0时，不等式显然成立．
当x∈（0，1]时．等价于：$\left\{\begin{array}{l}a≥\frac{1}{x}f（x）\\ b≤\frac{1}{x}f（x）\end{array}\right.$，
由（1）$\frac{1}{x}$f（x）为减函数，
∴1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤$\frac{1}{x}$f（x）＜$\frac{1}{2}$，
∴a≥$\frac{1}{x}$，b≤1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查函数的单调性的判断和证明，不等式的证明，体现了分类讨论的数学思想，得到当x∈（0，1]时．等价于：$\left\{\begin{array}{l}a≥\frac{1}{x}f（x）\\ b≤\frac{1}{x}f（x）\end{array}\right.$是解题的难点，属于中档题．