【题目】某湿地公园内有一条河,现打算建一座桥将河两岸的路连接起来,剖面设计图纸如下:
其中,点为
轴上关于原点对称的两点,曲线段
是桥的主体,
为桥顶,且曲线段
在图纸上的图形对应函数的解析式为
,曲线段
均为开口向上的抛物线段,且
分别为两抛物线的顶点,设计时要求:保持两曲线在各衔接处(
)的切线的斜率相等.
(1)求曲线段在图纸上对应函数的解析式,并写出定义域;
(2)车辆从经
倒
爬坡,定义车辆上桥过程中某点
所需要的爬坡能力为:
(该点
与桥顶间的水平距离)
(设计图纸上该点处的切线的斜率),其中
的单位:米.若该景区可提供三种类型的观光车:①游客踏乘;②蓄电池动力;③内燃机动力.它们的爬坡能力分别为
米,
米,
米,又已知图纸上一个单位长度表示实际长度
米,试问三种类型的观光车是否都可以顺利过桥?
【答案】⑴⑵“游客踏乘”的车辆不能顺利通过该桥,而“蓄电池动力”和“内燃机动力”的车辆可以顺利通过该桥.
【解析】
试题分析:(1)据题意,抛物线段与
轴相切,且
为抛物线的顶点,设
,则抛物线段
在图纸上对应函数的解析式可设为
,因为
点为衔接点,则
解得
所以曲线段
在图纸上对应函数的解析式为
(2)设是曲线段
上任意一点,分别求P在两段上时,函数的最大值
若在曲线段
上,则通过该点所需要的爬坡能力,
,利用二次函数求其最值
(米),若
在曲线段
上,则通过该点所需要的爬坡能力
,令
,换元法求其最大阻值,
(米),所以可知:车辆过桥所需要的最大爬坡能力为
米,
又因为,所以“游客踏乘”的车辆不能顺利通过该桥,而“蓄电池动力”和“内燃机动力”的车辆可以顺利通过该桥.
试题解析:⑴据题意,抛物线段与
轴相切,且
为抛物线的顶点,设
,则抛物线段
在图纸上对应函数的解析式可设为
,其导函数为
由曲线段在图纸上的图像对应函数的解析式为
,
又,且
,所以曲线在
点处的切线斜率为
,
因为点为衔接点,则
解得
所以曲线段在图纸上对应函数的解析式为
⑵设是曲线段
上任意一点,
①若在曲线段
上,则通过该点所需要的爬坡能力
令
,
所以函数
在区间
上为增函数,在区间
上是减函数,
所以(米)
②若在曲线段
上,则通过该点所需要的爬坡能力
令则
记当
时,
而当
时,
所以当时,
有最小值
从而
取最大值
此时(米)
所以由①,②可知:车辆过桥所需要的最大爬坡能力为米,
又因为,所以“游客踏乘”的车辆不能顺利通过该桥,而“蓄电池动力”和“内燃机动力”的车辆可以顺利通过该桥.
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【题目】如图,曲线C由上半椭圆C1: =1(a>b>0,y≥0)和部分抛物线C2:y=﹣x2+1(y≤0)连接而成,C1与C2的公共点为A,B,其中C1的离心率为
.
(1)求a,b的值;
(2)过点B的直线l与C1 , C2分别交于点P,Q(均异于点A,B),若AP⊥AQ,求直线l的方程.
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【题目】已知函数是
上的增函数.当实数
取最大值时,若存在点
,使得过点
的直线与曲线
围成两个封闭图形,且这两个封闭图形的面积总相等,则点
的坐标为( )
A. B.
C.
D.
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【题目】从某市统考的学生数学考试卷中随机抽查100份数学试卷作为样本,分别统计出这些试卷总分,由总分得到如下的频率分别直方图.
(1)求这100份数学试卷成绩的中位数;
(2)从总分在和
的试卷中随机抽取2份试卷,求抽取的2份试卷中至少有一份总分少于65分的概率.
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【题目】如图,矩形是一个历史文物展览厅的俯视图,点
在
上,在梯形
区域内部展示文物,
是玻璃幕墙,游客只能在
区域内参观.在
上点
处安装一可旋转的监控摄像头.
为监控角,其中
、
在线段
(含端点)上,且点
在点
的右下方.经测量得知:
米,
米,
米,
.记
(弧度),监控摄像头的可视区域
的面积为
平方米.
(1)求关于
的函数关系式,并写出
的取值范围;(参考数据:
)
(2)求的最小值.
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【题目】下列有关命题的说法正确的是( )
A. “若x>1,则2x>1”的否命题为真命题
B. “若cosβ=1,则sinβ=0”的逆命题是真命题
C. “若平面向量a,b共线,则a,b方向相同”的逆否命题为假命题
D. 命题“若x>1,则x>a”的逆命题为真命题,则a>0
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【题目】如图,已知双曲线C: ﹣y2=1(a>0)的右焦点为F,点A,B分别在C的两条渐近线AF⊥x轴,AB⊥OB,BF∥OA(O为坐标原点).
(1)求双曲线C的方程;
(2)过C上一点P(x0 , y0)(y0≠0)的直线l: ﹣y0y=1与直线AF相交于点M,与直线x=
相交于点N.证明:当点P在C上移动时,
恒为定值,并求此定值.
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【题目】如图,为保护河上古桥OA,规划建一座新桥BC,同时设立一个圆形保护区,规划要求:新桥BC与河岸AB垂直;保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆,且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m,经测量,点A位于点O正北方向60m处,点C位于点O正东方向170m处(OC为河岸),tan∠BCO= .
(1)求新桥BC的长;
(2)当OM多长时,圆形保护区的面积最大?
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