Question

5．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的长轴为4，且过点$A（\sqrt{2}，1）$
（1）求椭圆C的方程；
（2）设点O为原点，若点P在曲线C上，点Q在直线y=2上，且OP⊥OQ，试判断直线PQ与圆x²+y²=2的位置关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）由题意可得a=2，代入A的坐标，可得a，b的方程，解方程可得椭圆方程；
（2）设出点P，Q的坐标分别为（x₀，y₀），（t，2），其中x₀≠0，由OP⊥OQ得到$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=0，用坐标表示后把t用含有P点的坐标表示，然后分P，Q的横坐标相等和不相等写出直线PQ的方程，然后由圆x²+y²=2的圆心到PQ的距离和圆的半径相等，说明直线PQ与圆x²+y²=2相切．

解答 解：（1）由题意可得2a=4，即a=2，
又$\frac{2}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{{b}^{2}}$=1，解得b=$\sqrt{2}$，
即有椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1；
（2）直线PQ与圆x²+y²=2相切．
证明如下：
设点P，Q的坐标分别为（x₀，y₀），（t，2），其中x₀≠0．
∵OP⊥OQ，
∴$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=0，即tx₀+2y₀=0，
解得t=-$\frac{2{y}_{0}}{{x}_{0}}$．
当x₀=t时，y₀=-$\frac{{t}^{2}}{2}$，代入椭圆C的方程，
得t=±$\sqrt{2}$，
故直线PQ的方程为x=±$\sqrt{2}$，
圆心O到直线PQ的距离d=$\sqrt{2}$．
此时直线PQ与圆x²+y²=2相切．
当x₀≠t时，直线PQ的方程为y-2=$\frac{{y}_{0}-2}{{x}_{0}-t}$（x-t），
即（y₀-2）x-（x₀-t）y+2x₀-ty₀=0．
圆心O到直线PQ的距离d=$\frac{|2{x}_{0}-t{y}_{0}|}{\sqrt{（{y}_{0}-2）^{2}+（{x}_{0}-t）^{2}}}$．
又x₀²+2y₀²=4，t=-$\frac{2{y}_{0}}{{x}_{0}}$．
故d=$\frac{|2{x}_{0}+\frac{2{{y}_{0}}^{2}}{{x}_{0}}|}{\sqrt{{{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}+\frac{4{{y}_{0}}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}}+4}}$=$\frac{|\frac{4+{{x}_{0}}^{2}}{{x}_{0}}|}{\sqrt{\frac{{{x}_{0}}^{4}+8{{x}_{0}}^{2}+16}{2{{x}_{0}}^{2}}}}$=$\sqrt{2}$．
此时直线AB与圆x²+y²=2相切．

点评 此题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题，同时考查直线和圆的位置关系的判断，考查化简整理的运算能力，属于中档题．