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【题目】已知函数.

1)若,求证:当时,

2)若函数上单调递减,求实数的取值范围.

【答案】(1)证明见解析;(2)

【解析】

(1)时,求导并判断函数的单调性,可得上单调递增,即当时,

2)构造函数,求导并判断单调性可得上单调递增,可求出,然后分三种情况讨论,使得上单调递减所满足的条件,可求出实数的取值范围.

1)依题意,定义域为

.

,则.

所以当时,,当时,.

所以上单调递减,在上单调递增.

所以,即,所以函数上单调递增.

所以当时,.

2)设,则.

易知当时,,即,故上单调递增.

所以.

①若,则在上,,所以.

所以.

.

上,要使单调递减,则,从而.

因为,所以上单调递减.

所以,所以.

②若,即,则在上,

所以,由①可知.

所以当时,

从而,所以上单调递减.

③若,则存在,使得,从而.

,从而在区间上不单调递减.

综上所述,实数的取值范围为.

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