【题目】已知函数,.
(1)若,求证:当时,;
(2)若函数在上单调递减,求实数的取值范围.
【答案】(1)证明见解析;(2)
【解析】
(1)时,求导并判断函数的单调性,可得在上单调递增,即当时,;
(2)构造函数,求导并判断单调性可得在上单调递增,可求出与,然后分、和三种情况讨论,使得在上单调递减所满足的条件,可求出实数的取值范围.
(1)依题意,定义域为,
.
令,则.
所以当时,,当时,.
所以在上单调递减,在上单调递增.
所以,即,所以函数在上单调递增.
所以当时,.
(2)设,则.
易知当时,,即,故在上单调递增.
所以,.
①若,则在上,,所以.
所以.
令.
在上,要使单调递减,则,从而.
因为,所以在上单调递减.
所以,所以.
②若,即,则在上,,
所以,由①可知.
所以当时,,
从而,所以在上单调递减.
③若,则存在,使得,从而.
而,,从而在区间上不单调递减.
综上所述,实数的取值范围为.
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【题目】为贯彻执行党中央“不忘初心,牢记使命”主题教育活动,增强企业的凝聚力和竞争力。某重装企业的装配分厂举行装配工人技术大比武,根据以往技术资料统计,某工人装配第n件工件所用的时间(单位:分钟)大致服从的关系为(k、M为常数).已知该工人装配第9件工件用时20分钟,装配第M件工件用时12分钟,那么可大致推出该工人装配第4件工件所用时间是( )
A.40分钟B.35分钟C.30分钟D.25分钟
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【题目】某公司为了了解年研发资金投人量(单位:亿元)对年销售额(单位:亿元)的影响.对公司近年的年研发资金投入量和年销售额的数据,进行了对比分析,建立了两个函数模型:①,②,其中、、、均为常数,为自然对数的底数.并得到一些统计量的值.令,,经计算得如下数据:
(1)请从相关系数的角度,分析哪一个模型拟合程度更好?
(2)(ⅰ)根据(1)的选择及表中数据,建立关于的回归方程;
(ⅱ)若下一年销售额需达到亿元,预测下一年的研发资金投入量是多少亿元?
附:①相关系数,
回归直线中公式分别为:,;
②参考数据:,,.
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【题目】已知椭圆的长轴是短轴的两倍,以短轴一个顶点和长轴一个顶点为端点的线段作直径的圆的周长等于,直线l与椭圆C交于两点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过点O作直线l的垂线,垂足为D.若,求动点D的轨迹方程.
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【题目】已知点为平面内一定点,动点为平面内曲线上的任意一点,且满足,过原点的直线交曲线于两点.
(1)证明:直线与直线的斜率之积为定值;
(2)设直线,交直线于、两点,求线段长度的最小值.
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【题目】已知数列,满足(…).
(1)若,求的值;
(2)若且,则数列中第几项最小?请说明理由;
(3)若(n=1,2,3,…),求证:“数列为等差数列”的充分必要条件是“数列为等差数列且(n=1,2,3,…)”.
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【题目】如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,且AB=1,BC=2, ∠ABC=60°,PA⊥平面ABCD,AE⊥PC于E,
下列四个结论:①AB⊥AC;②AB⊥平面PAC;③PC⊥平面ABE;④BE⊥PC.正确的个数是( )
A.1B.2C.3D.4
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