【题目】已知椭圆的四个顶点组成的四边形的面积为,且经过点.
(1)求椭圆的方程;
(2)若椭圆的下顶点为,如图所示,点为直线上的一个动点,过椭圆的右焦点的直线垂直于,且与交于两点,与交于点,四边形和的面积分别为.求的最大值.
【答案】(1);(2).
【解析】试题分析:(1)由椭圆几何条件得椭圆四个顶点组成的四边形为菱形,其面积为, ,又在椭圆上,所以,解方程组得,
(2)先确定面积计算方法: , ,再确定计算方向:设,根据
两点间距离公式求,根据两直线交点求点横坐标,再根据直线方程与椭圆方程联立方程组,结合韦达定理求弦长,最后根据表达式形式,确定求最值方法(基本不等式求最值)
试题解析:
(1)因为在椭圆上,所以,
又因为椭圆四个顶点组成的四边形的面积为,所以,
解得,所以椭圆的方程为
(2) 由(1)可知,设,
则当时, ,所以,
直线的方程为,即,
由得,
则,
,
,
又,所以,
由,得,所以,
所以,
当,直线, , , , ,
所以当时, .
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【题目】在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),以原点为极点, 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
写出曲线的极坐标的方程以及曲线的直角坐标方程;
若过点(极坐标)且倾斜角为的直线与曲线交于, 两点,弦的中点为,求的值.
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【题目】在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a+b+c=16.
(1)若a=4,b=5,求cosC的值;
(2)若sinA+sinB=3sinC,且△ABC的面积S=18sinC,求a和b的值.
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【题目】已知二次函数,关于实数的不等式的解集为.
(1)当时,解关于的不等式: ;
(2)是否存在实数,使得关于的函数()的最小值为?若存在,求实数的值;若不存在,说明理由.
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【题目】古代数学名著《九章算术》中的“盈不足”问题知两鼠穿垣.今有垣厚5尺,两鼠对穿.大鼠日一尺,小鼠亦一尺.大鼠日自倍,小鼠日自半.问:何日相逢?题意是:由垛厚五尺(旧制长度单位, 尺= 寸)的墙壁,大小两只老鼠同时从墙的两面,沿一直线相对打洞.大鼠第一天打进尺,以后每天的速度为前一天的倍;小鼠第一天也打进尺,以后每天的进度是前一天的一半.它们多久可以相遇?
A. 天 B. 天 C. 天 D. 天
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【题目】根据下面的要求,求满足1+2+3+…+n>500的最小的自然数n.
(1)画出执行该问题的程序框图;
(2)以下是解决该问题的一个程序,但有2处错误,请找出错误并予以更正.
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【题目】已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0),右顶点为( ,0)
(1)求双曲线C的方程;
(2)若直线l:y=kx+ 与双曲线C恒有两个不同的交点A和B,且 >2(其中O为原点).求k的取值范围.
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