Question

已知函数f(x)=lnx，g(x)=

1

2

ax2+bx (a≠0).
（Ⅰ）若a=-2时，函数h（x）=f（x）-g（x）在其定义域是增函数，求b的取值范围；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的结论下，设函数φ（x）=e^2x+be^x，x∈[0，ln2]，求函数φ（x）的最小值；

Answer 1

分析：（1）h（x）的导数大于或等于0，得到b≤m（x）型的不等式，故应有：b小于或等于m（x）的最小值．
（2）换元，设t=e^x，把函数φ（x）化为二次函数的形式，配方找出对称轴，分对称轴在区间内、在区间左侧、在区间右侧三种情况求出函数最小值．

解答：解：（Ⅰ）由题设知：h（x）=lnx+x²-bx，且在（0，+∞）上是增函数，
∵h′(x)=

1

x

+2x-b
∴

1

x

+2x-b≥0即b≤

1

x

+2x对x∈（0，+∞）恒成立，
∵x＞0，有

1

x

+2x≥2

2

.∴b的取值范围为(-∞，2

2

].（7分）
（Ⅱ）设t=e^x，则函数化为φ（x）=F（t）=t²+bt，t∈[1，2]．∵F(t)=(t+

b

2

)2-

b2

4

.
∴当-

b

2

≤1即-2≤b≤2

2

时，F（t）在[1，2]上为增函数，[φ（x）]_min=F（1）=b+1；
当1＜-

b

2

＜2即-4＜b＜-2时，[φ(x)]min=F(-

b

2

)=-

b2

4

；
当-

b

2

≥2即b≤-4时，F（t）在[1，2]上为减函数，[φ（x）]_min=F（2）=2b+4；
∴[φ(x)]min=

b+1     x∈[-2，2 2 ] - b2 4      x∈(-4，-2) 2b+4   x∈(-∞，-4]

（14分）

点评：本题考查函数单调性的应用，恒成立问题，注意分类讨论．