Question

2．已知正项数列{a_n}的前n项和S_n满足2$\sqrt{{S}_{n}}$=a_n+1，求证：{a_n}是等差数列，并求a_n．

Answer 1

分析 根据题意求出数列{a_n}的前n项和S_n的解析式，利用a_n=S_n-S_n-1求出a_n与a_n-1的关系，根据定义即可证明{a_n}是等差数列，求出首项与公差，即可得出通项公式．

解答 证明：正项数列{a_n}的前n项和S_n满足2$\sqrt{{S}_{n}}$=a_n+1，
∴4S_n=${{a}_{n}}^{2}$+2a_n+1，
∴4S_n-1=${{a}_{n-1}}^{2}$+2a_n-1+1，n≥2；
∴4（S_n-S_n-1）=${{a}_{n}}^{2}$+2a_n-${{a}_{n-1}}^{2}$-2a_n-1，n≥2，
即4a_n=${{a}_{n}}^{2}$+2a_n-${{a}_{n-1}}^{2}$-2a_n-1，n≥2；
整理得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，
又a_n＞0，∴a_n-a_n-1=2；
又a₁=S₁，
∴4a₁=${{a}_{1}}^{2}$+2a₁+1，
解得a₁=1；
∴数列{a_n}是首项为a₁=1，公差d=2的等差数列，
它的通项公式为a_n=a₁+（n-1）d=1+2（n-1）=2n-1．

点评 本题考查了等差数列的定义、通项公式与前n项和公式的应用问题，是基础题目．