Question

已知动圆过定点A（1，0），且与直线x=-1相切．
（1）求动圆的圆心轨迹C的方程；
（2）若直线l过点A，并与轨迹C交于P，Q两点，且满足，求直线l的方程．

Answer 1

解：（1）∵动圆过定点A（1，0），且与直线x=-1相切，
∴曲线C是以点A为焦点，直线x=-1为准线的抛物线，其方程为y²=4x．
（2）由题意直线的斜率存在，设方程为：y=k（x-1），代入抛物线方程，整理得k²x²-（2k²+4）x+k²=0
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
∵，∴
∴
∴
∴
∴直线l的方程为y=（x-1）．
分析：（1）由抛物线的定义知，到定点的距离等于到定直线的距离的点的轨迹为抛物线，所以动圆圆心的轨迹为抛物线，再用求抛物线方程的方法求出轨迹C的方程即可．
（2）由题意直线的斜率存在，设方程为：y=k（x-1），代入抛物线方程，整理得k²x²-（2k²+4）x+k²=0
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），利用，可求得，从而可求直线l的方程．
点评：本题主要考查抛物线方程的求解，考查直线与抛物线的位置关系，考查了求直线方程，解题时应主要向量条件的运用．