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    设A是由m×n个实数组成的m行n列的数表，如果某一行（或某一列）各数之和为负数，则改变该行（或该列）中所有数的符号，称为一次“操作”．

    （Ⅰ） 数表A如表1所示，若经过两次“操作”，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负实数，请写出每次“操作”后所得的数表（写出一种方法即可）； 

    1

    2

    3

    ﹣7

    ﹣2

    1

    0

    1

    表1

    （Ⅱ） 数表A如表2所示，若必须经过两次“操作”，才可使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数，求整数a的所有可能值；

    a

    a2﹣1

    ﹣a

    ﹣a2

    2﹣a

    1﹣a2

    a﹣2

    a2

    表2

    （Ⅲ）对由m×n个实数组成的m行n列的任意一个数表A，能否经过有限次“操作”以后，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数？请说明理由．

    考点：

    切变变换．

    专题：

    计算题；图表型．

    分析：

    解：（I）根据题中一次“操作”的含义，将原数表改变第4列，再改变第2行即可；或者改变第2行，改变第4列也可得（写出一种即可）

    （II）  每一列所有数之和分别为2，0，﹣2，0，每一行所有数之和分别为﹣1，1；①如果操作第三列，第一行之和为2a﹣1，第二行之和为5﹣2a，列出不等关系解得a，b；②如果操作第一行，可解得a值；

    （III） 按要求对某行（或某列）操作一次时，则该行的行和（或该列的列和），由负整数变为正整数，都会引起该行的行和（或该列的列和）增大，从而也就使得数阵中mn个数之和增加，且增加的幅度大于等于1﹣（﹣1）=2，但是每次操作都只

    是改变数表中某行（或某列）各数的符号，而不改变其绝对值，显然，数表中mn个数之和必然小于等于，可见其增加的趋势必在有限次之后终止，终止之时必然所有的行和与所有的列和均为非负整数，故结论成立．

    解答：

    解：（I）

    法1：

    1

    2

    3

    ﹣7

    ﹣2

    1

    0

    1

    改变第4列得：

    1

    2

    3

    7

    ﹣2

    1

    0

    ﹣1

    改变第2行得：

    1

    2

    3

    7

    2

    ﹣1

    0

    1

    法2：

    1

    2

    3

    ﹣7

    ﹣2

    1

    0

    1

    改变第2行得：

    1

    2

    3

    7

    2

    ﹣1

    0

    ﹣1

    改变第4列得：

    1

    2

    3

    7

    2

    ﹣1

    0

    1

    法3：

    1

    2

    3

    ﹣7

    ﹣2

    1

    0

    1

    改变第1列得：

    ﹣1

    2

    3

    7

    2

    1

    0

    ﹣1

    改变第4列得：

    ﹣1

    2

    3

    7

    2

    1

    0

    ﹣1

    （写出一种即可）                                                  …（3分）（II）   每一列所有数之和分别为2，0，﹣2，0，每一行所有数之和分别为﹣1，1；

    ①如果操作第三列，则

    a

    a2﹣1

    a

    ﹣a2

    2﹣a

    1﹣a2

    ﹣a+2

    a2

    则第一行之和为2a﹣1，第二行之和为5﹣2a，

    ，解得a=1，a=2．…（6分）

    ②如果操作第一行

    ﹣a

    ﹣a2+1

    a

    a2

    2﹣a

    1﹣a2

    a﹣2

    a2

    则每一列之和分别为2﹣2a，2﹣2a2，2a﹣2，2a2

    解得a=1                                     …（9分）

    综上a=1                                             …（10分）

    （III） 证明：按要求对某行（或某列）操作一次时，则该行的行和（或该列的列和）

    由负整数变为正整数，都会引起该行的行和（或该列的列和）增大，

    从而也就使得数阵中mn个数之和增加，且增加的幅度大于等于1﹣（﹣1）=2，

    但是每次操作都只是改变数表中某行（或某列）各数的符号，而不改变其绝对值，

    显然，数表中mn个数之和必然小于等于，

    可见其增加的趋势必在有限次之后终止，终止之时必然所有的行和与所有的列和均为非负整数，故结论成立 …（13分）

    点评：

    本题主要考查了进行简单的演绎推理，以及新定义的理解和切变变换的应用，同时考查了分析问题的能力，属于难题．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2013•海淀区二模）设A是由m×n个实数组成的m行n列的数表，如果某一行（或某一列）各数之和为负数，则改变该行（或该列）中所有数的符号，称为一次“操作”．
    （Ⅰ） 数表A如表1所示，若经过两次“操作”，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负实数，请写出每次“操作”后所得的数表（写出一种方法即可）； 
    1 2 3 -7
    -2 1 0 1
    表1
    （Ⅱ） 数表A如表2所示，若必须经过两次“操作”，才可使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数，求整数a的所有可能值；
    a a2-1 -a -a2
    2-a 1-a2 a-2 a2
    表2
    （Ⅲ）对由m×n个实数组成的m行n列的任意一个数表A，能否经过有限次“操作”以后，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数？请说明理由．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2012•北京）设A是由m×n个实数组成的m行n列的数表，满足：每个数的绝对值不大于1，且所有数的和为零，记s（m，n）为所有这样的数表构成的集合．对于A∈S（m，n），记ri（A）为A的第ⅰ行各数之和（1≤ⅰ≤m），Cj（A）为A的第j列各数之和（1≤j≤n）；记K（A）为|r1（A）|，|R2（A）|，…，|Rm（A）|，|C1（A）|，|C2（A）|，…，|Cn（A）|中的最小值．
    （1）如表A，求K（A）的值；
    1 1 -0.8
    0.1 -0.3 -1
    （2）设数表A∈S（2，3）形如
    1 1 c
    a b -1
    求K（A）的最大值；
    （3）给定正整数t，对于所有的A∈S（2，2t+1），求K（A）的最大值．

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    科目：高中数学 来源：高考真题 题型：解答题

    设A是由m×n个实数组成的m行n列的数表，满足：每个数的绝对值不大于1，且所有数的和为零，记s（m，n）为所有这样的数表构成的集合，对于A∈S（m，n），记ri（A）为A的第i行各数之和（1≤i≤m），Cj（A）为A的第j列各数之和（1≤j≤n）；记K（A）为|r1（A）|，|R2（A）|，…，|Rm（A）|，|C1（A）|，|C2（A）|，…，|Cn（A）|中的最小值。
    （1）如表A，求K（A）的值；
    （2）设数表A∈（2，3），形如下表，求K（A）的最大值。
    （3）给定正整数t，对于所有的A∈S（2，2t+1），求K（A）的最大值。

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    科目：高中数学 来源：2012年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（北京卷解析版） 题型：解答题

    设A是由m×n个实数组成的m行n列的数表，满足：每个数的绝对值不大于1，且所有数的和为零，记s(m，n)为所有这样的数表构成的集合。

    对于A∈S(m,n),记ri(A)为A的第ⅰ行各数之和（1≤ⅰ≤m），Cj(A)为A的第j列各数之和（1≤j≤n）：

    记K(A)为∣r1(A)∣,∣R2(A)∣,…,∣Rm(A)∣,∣C1(A)∣,∣C2(A)∣,…,∣Cn(A)∣中的最小值。

    （1）   对如下数表A，求K（A）的值；

    1

    1

    -0.8

    0.1

    -0.3

    -1

     

    （2）设数表A∈S（2,3）形如

    1

    1

    c

    a

    b

    -1

     

    求K（A）的最大值；

    （3）给定正整数t，对于所有的A∈S（2,2t+1），求K（A）的最大值。

    【解析】（1）因为，

    所以

    （2）  不妨设.由题意得.又因为，所以，

    于是，，

        

    所以，当，且时，取得最大值1。

    （3）对于给定的正整数t，任给数表如下，

    …

    …

    任意改变A的行次序或列次序，或把A中的每一个数换成它的相反数，所得数表

    ，并且，因此，不妨设，

    且。

    由得定义知，，

    又因为

    所以

         

         

    所以，

    对数表：

    1

    1

    …

    1

    …

    …

    -1

    …

    -1

     

    则且，

    综上，对于所有的，的最大值为

     

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