Question

已知抛物线y=

1

8

x²与双曲线

y2

a2

-x²=1（a＞0）有共同的焦点F，O为坐标原点，P在x轴上方且在双曲线上，则

OP

•

FP

的最小值为（　　）

• A、2

  3

  -3
• B、3-2

  3

• C、

  7

  4

• D、

  3

  4

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：计算题,平面向量及应用,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：求出抛物线的焦点，即有双曲线的c=2，进而得到双曲线的方程，设P（m，n），（n≥

3

），则n²-3m²=3，再由向量的数量积的坐标表示，化简整理成关于n的方程，再由二次函数的最值求法，即可得到最小值．

解答： 解：抛物线y=

1

8

x²的焦点F为（0，2），
则双曲线

y2

a2

-x²=1的c=2，则a²=3，
即双曲线方程为

y2

3

-x2=1，
设P（m，n），（n≥

3

），则n²-3m²=3，
则

OP

•

FP

=（m，n）•（m，n-2）=m²+n²-2n=

n2

3

-1+n²-2n
=

4n2

3

-2n-1=

4

3

（n-

3

4

）²-

7

4

，
由于区间[

3

，+∞）在n=

3

4

的右边，则为增区间，
则当n=

3

时，取得最小值，且为

4

3

×3-2

3

-1=3-2

3

．
故选B．

点评：本题考查抛物线和双曲线的方程和性质，考查平面向量的数量积的坐标表示，考查二次函数在区间上的最值，考查运算能力，属于中档题和易错题．