(1)求曲线F的方程;
(2)求证:直线l与曲线F只有一个公共点M;
(3)若r=4,点M在第一象限,且,记直线l与直线CM的夹角为
,
求tan.
解:(1)连接MB,由题意有
|MC|+|MB|=|MC|+|MA|=|AC|=r
又r>|BC|=2
∴点M的轨迹是以C(-1,0),B(1,0)为焦点的椭圆
∴a= c=1
∴曲线F的方程为:
(2)反证法:假设直线l与椭圆F还有另一个交点,连接
C、
B、
A
∵点在l上,有|
C|+|
B|=|
C|+|
A|>|AC|=r
又点在F上,有 |
C|+|
B|=r,两者矛盾
故假设不成立,原命题成立.
(3)∵r=4,故椭圆F方程为
设点M(2cosθ,sinθ)
则=(2cosθ+1,
sinθ),
=(2cosθ-1,
sinθ),
∴·
=4cos2θ-1+3sin2θ=
∴cos2θ= ∴M(1,
)
由(2)知l为椭圆F的切线,由
,当y>0时,有y=
∴ ∴kl=
[由公式求kl不扣分(其中x1=1,y1=
)]
又kMC=故tanα=
.
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CE |
CF |
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x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
2 |
| ||
2 |
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