Question

观察下列等式：

3

1×2

×

1

2

=1-

1

22

，

3

1×2

×

1

2

+

4

2×3

×

1

22

=1-

1

3×22

，

3

1×2

×

1

2

+

4

2×3

×

1

22

+

5

3×4

×

1

23

=1-

1

4×23

，
…
由以上等式推测到一个一般的结论：对于n∈N^*，

3

1×2

×

1

2

+

4

2×3

×

1

22

+…+

n+2

n(n+1)

×

1

2n

=

 

．

Answer 1

分析：由已知中的三个式子，我们分析等式左边每一个累加项的变化趋势，可以归纳出其通项为

n+2

n(n+1)

×

1

2n

，分析等式右边的式子，发现每一个式了均为两项差的形式，且被减数均为1，减数为

1

(n+1)-2n

，由此即可得到结论．

解答：解：由已知中的等式，

3

1×2

×

1

2

=1-

1

22

，

3

1×2

×

1

2

+

4

2×3

×

1

22

=1-

1

3×22

，

3

1×2

×

1

2

+

4

2×3

×

1

22

+

5

3×4

×

1

23

=1-

1

4×23

，
…
我们可以推断：
对于n∈N^*，

3

1×2

×

1

2

+

4

2×3

×

1

22

+…+

n+2

n(n+1)

×

1

2n

=1-

1

(n+1)-2n

故答案为：1-

1

(n+1)-2n

点评：本题考查的知识点是归纳推理，归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．