Question

如图所示，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=1，BC=2，CC₁=5，M为棱CC₁上一点．
（1）若，求异面直线A₁M和C₁D₁所成角的正切值；
（2）是否存在这样的点M使得BM⊥平面A₁B₁M？若存在，求出C₁M的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）过点M作MN∥C₁D，交D₁D于N，连接A₁N，可得∠A₁MN或其补角就是异面直线A₁M和C₁D₁所成角．再在Rt△A₁NM中利用勾股定理和正切函数的定义，即可得到异面直线A₁M和C₁D₁所成角的正切值；
（2）先假设存在M点，使得BM⊥平面A₁B₁M，并设C₁M=x．根据平面几何知识Rt△B₁MB∽Rt△MB₁C₁，得到B₁M^是B₁B和C₁M的比例中项，通过计算可得x=1或4，由此可知存在点M使得BM⊥平面A₁B₁M．
解答：解：（1）过点M作MN∥C₁D，交D₁D于N，连接A₁N，
则∠A₁MN或其补角就是异面直线A₁M和C₁D₁所成角
在Rt△A₁NM中，AB=1，A₁N==
∴tan∠A₁MN==
由此可得，当时，异面直线A₁M和C₁D₁所成角的正切值为；
（2）∵A₁B₁⊥平面BB₁C₁C，BM⊆平面BB₁C₁C，
∴A₁B₁⊥BM，
因此可得：只要B₁M⊥BM，就有BM⊥平面A₁B₁M．
假设存在M点，使得BM⊥平面A₁B₁M，设C₁M=x
则矩形BB₁C₁C中，B₁M⊥BM，所以∠MB₁C₁=∠MBB₁
∴Rt△B₁MB∽Rt△MB₁C₁，所以=
∴B₁M²=B₁B•C₁M，可得4+x²=5x，解之得x=1或4
∴当C₁M的长为1或4时，存在点M使得BM⊥平面A₁B₁M．
点评：本题给出特殊的四棱柱，求异面直线所成角并探索线面垂直的存在性，着重考查了异面直线所成角的求法和线面垂直的判定与性质等知识，属于中档题．