Question

在空间四边形ABCD中，已知AD=1，BC=，且AD⊥BC，对角线BD=，AC=，AC和BD所成的角是

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

C
分析：分别取BC、AD、CD、BD、AB中点E、F、G、H、I，连接EF、EG、EI、FG、FI、GH、GI、HI，可得∠FGE、∠GHI（或其补角）分别是AC和BD、AD和BC所成的角．平行四边形EGFI中，利用平方关系算出EF=1，从而在△FGE中得到GF²+GE²=EF²，得∠FGE=，即得异面直线AC和BD所成的角为．
解答：分别取BC、AD、CD、BD、AB中点E、F、G、H、I，
连接EF、EG、EI、FG、FI、GH、GI、HI
∵△BCD中，GE是中位线，∴GE∥BD且GE=BD
同理可得FI∥BD且FI=BD
∴GE∥FI且GE=FI，得四边形EGFI是平行四边形
∵FG∥AC，GE∥BD
∴∠FGE（或其补角）是异面直线AC和BD所成的角
同理可得∠GHI（或其补角）是异面直线AD和BC所成的角
∵AD⊥BC，∴∠GHI=90°
∵GH=BC=，HI=AD=，∴GI==1
∵平行四边形EGFI中，FI=GE=BD=，FG=EI=AC=
∴EF²+GI²=2（EI²+FI²），得EF²+1=2（+），解得EF=1
因此，GF²+GE²=1=EF²，可得∠FGE=
∴异面直线AC和BD所成的角为
故选：C
点评：本题在空间四边形ABCD中，已知相对棱的长度和所成角，并且知道对角线长度的情况下求对角线所成角大小，着重考查了空间四边形的性质和异面直线所成角求法等知识，属于中档题．