Question

如图，四棱锥P—ABCD中，底面四边形ABCD是正方形，侧面PDC是边长为a的正

三角形，且平面PDC⊥底面ABCD，E为PC的中点。

         （I）求异面直线PA与DE所成的角；

         （II）求点D到面PAB的距离.

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）

解析:

（1）解法一：连结AC，BD交于点O，连结EO.

∵四边形ABCD为正方形，∴AO=CO，又∵PE=EC，∴PA∥EO，

∴∠DEO为异面直线PA与DE所成的角……………………3分

∵面PCD⊥面ABCD，AD⊥CD，∴AD⊥面PCD，∴AD⊥PD.

在Rt△PAD中，PD=AD=a，则，

∴异面直线PA与DE的夹角为……………………6分

（2）取DC的中点M，AB的中点N，连PM、MN、PN.

∴D到面PAB的距离等于点M到

面PAB的距离.……7分

过M作MH⊥PN于H，

∵面PDC⊥面ABCD，PM⊥DC，

∴PM⊥面ABCD，∴PM⊥AB，

又∵AB⊥MN，PM∩MN=M，

∴AB⊥面PMN. ∴面PAB⊥面PMN，

∴MH⊥面PAB，

则MH就是点D到面PAB的距离.……10分

在

………………12分

解法二：如图取DC的中点O，连PO，

∵△PDC为正三角形，∴PO⊥DC.

又∵面PDC⊥面ABCD，∴PO⊥面ABCD.

如图建立空间直角坐标系

则

.………………………………3分

（1）E为PC中点，  ，

，

∴异面直线PA与DE所成的角为……………………6分

（2）可求，

设面PAB的一个法向量为，

   ①     . ②

由②得y=0，代入①得

令…………………………9分

则D到面PAB的距离d等于在n上射影的绝对值

即点D到面PAB的距离等于………………………………12分