分析 (1)求函数的定义域和导数,利用函数单调性和导数之间的关系进行求解即可.
(2)将不等式恒成立进行转化,利用条件构造函数,求函数的导数,研究函数的单调性和最值进行求解即可.
解答 解:(1)函数的定义域是(0,+∞),导数f′(x)=$\frac{1}{x}$-$\frac{a}{{x}^{2}}$,
①若a≤0,导数f′(x)>0,函数的单调增区间是(0,+∞);
②若a>0,在(a,+∞)上,f′(x)>0,函数的单调增区间是(a,+∞),
在(a,+∞)上,f′(x)<0,单调减区间是(0,a);
(2)若对一切的x∈(1,2),不等式$\frac{1}{lnx}$-$\frac{1}{x-1}$<m恒成立,等价为x-1-lnx<m(x-1)lnx,
即x∈(1,2)时,不等式(mx-m+1)lnx-x+1>0恒成立,
令g(x)=(mx-m+1)lnx-x+1,
则g′(x)=mlnx+$\frac{mx+1-m}{x}$-1=$\frac{mxlnx+(m-1)x+1-m}{x}$,
令h(x)=mxlnx+(m-1)x+1-m,则h′(x)=mlnx+2m-1,
①当m≤0时,x∈(1,2)时,h′(x)<0,
∴h(x)在x∈(1,2)上单调递减,h(x)<h(1)=0
∴x∈(1,2)时,g′(x)<0,g(x)在(1,2)上单调递减,
∴x∈(1,2)时,g(x)<g(1)=0,与x∈(1,2)时,g(x)>0,矛盾,此种情况不可能.
②当0<m<$\frac{1}{2}$时,由h′(x)在(1,2)上单调递增,且h′(x)=2m-1<0,
∴一定存在x0∈(1,2),使得x∈(1,x0)时,h′(x)<0,
∴h(x)在(1,x0)上单调递减,当x∈(1,x0)时,h(x)<h(1)=0,
∴x∈(1,x0)时,g′(x)<0,g(x)在(1,x0)单调递减,
∴x∈(1,x0)时,g(x)<g(1)=0,与x∈(1,2)时,g(x)>0矛盾,此种情况不可能,
②当m≥$\frac{1}{2}$时,x∈(1,2)时,h′(x)>0,由h(x)在(1,2)上单调递增,h(x)>h(1)=0,
且h′(x)=2m-1<0,
∴x∈(1,2)时,g′(x)>0,g(x)在(1,2)单调递增,
∴x∈(1,2)时,g(x)>g(1)=0恒成立,
综上实数m的取值范围是[$\frac{1}{2}$,+∞).
点评 本题主要考查函数单调性,最值和导数之间的关系,根据条件进行合理的构造函数,考查学生的转化能力,综合性较强,难度较大,注意要进行分类讨论.
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