已知定点和直线
,过点
且与直线
相切的动圆圆心为点
,记点
的轨迹为曲线
.
(1)求曲线的方程;
(2)若点的坐标为
,直线
(
,且
)与抛物线
,相交于
、
两点,直线
、
分别交直线
于点
、
试判断以线段
为直径的圆是否恒过两个定点?若是,求这两个定点的坐标;若不是,说明理由.
(1);(2)存在,且两个定点坐标为
和
.
解析试题分析:(1)解法1是根据题干条件确定曲线是以点
为焦点、以直线
为准线的抛物线,从而写出抛物线
的方程;解法2是利用直接法求动点
的轨迹方程,即设点
的坐标为
,将条件转化为点
到点
的距离等于点到直线
的距离相等列等式,化简后即得到曲线
的方程;(2)解法1是先设点
、
的坐标分别为
、
,将直线
的方程与抛物线
的方程联立求出
、
的坐标,并求出
、
的直线方程,与直线
的方程联立求出
、
的坐标,利用两点间的距离公式求出
,然后求出线段
的中点的坐标,然后写出以
为直径的圆的方程,结合韦达定理进行化简,根据方程的结构特点求出定点的坐标;解法2是设直线
的方程为
,点
的坐标为
,分别将直线
的方程与抛物线和直线
的方程求出点
、
的坐标,然后设直线
的方程为
,利用同样的方法求出点
、
的坐标,利用点
、
都在直线
上,结合两点连线的斜率等于
值以及点
在直线
得到
、
与
之间的等量关系(韦达定理),然后设
为以
为直径的圆上的一点,由
得到以
为直径的圆的方程,然后圆的方程的结构特点求出定点的坐标.
试题解析:(1)解法1:由题意,点到点
的距离等于它到直线
的距离,
故点的轨迹是以点
为焦点,
为准线的抛物线.
曲线
的方程为
;
解法2:设点<
科目:高中数学 来源: 题型:填空题
已知抛物线(
)的焦点为
,准线为
,
为抛物线上一点,
,垂足为
.如果
是边长为
的正三角形,则此抛物线的焦点坐标为__________,点
的横坐标
______.
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科目:高中数学 来源: 题型:填空题
曲线C是平面内与两个定点和
的距离的积等于常数
的点的轨迹,给出下列三个结论:
①曲线C过坐标原点; ②曲线C关于坐标原点对称;
③若点P在曲线C上,则△的面积不大于
.
其中,所有正确结论的序号是____________.
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