Question

已知定义在区间（-1、1）上的函数f(x)=

mx+n

x2+1

为奇函数．且f(

1

2

)=

2

5

．
（1）、求实数m、n的值．
（2）、解关于 t 的不等式f（t-1）+f（t-2）＜0．

Answer 1

分析：（1）根据f（x）是在区间（-1、1）上的奇函数，则f（0）=0，求出n的值，然后根据f(

1

2

)=

2

5

求出m的值即可．
（2）先根据定义法判定函数的单调性，然后根据f（x）为奇函数则f（t-2）＜-f（t-1）=f（1-t），根据单调性和定义域建立不等式组，解之即可求出所求．

解答：解：（1）∵f（x）是在区间（-1、1）上的奇函数．

∴f(x)= x 1+x2

∴f(o)=n=o 又f( 1 2 )= m 2 +n 1+ 1 4 = 2 5

∴m=1…（6分）
（2）设-1＜x₁＜x₂＜1则f(x1)-f(x2)=

x1

1+x12

-

x2

1+x22

=

(x1-x2)(1-x1x2)

(1+x12)(1+x22)

∴-1＜x₁＜x₂＜1∴x₁-x₂＜01-x₁x₂＞0（1+x₁²）（1+x₂²）＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0即f（x₁）＜f（x₂）∴f（x）在区间（-1、1）上是增函数．
∴f（t-1）+f（t-2）＜0．且f（x）为奇函数∴f（t-2）＜-f（t-1）=f（1-t）
又∴函数f（x）是定义在区间（-1、1）上的增函数．∴

t-2＜1-t -1＜t-2＜1 -1＜1-t＜1

∴1＜t＜

3

2

故关于t的不等式的解集为{t|1＜t＜

3

2

 }…（13分）
注：单调性的证明用求导或用熟悉函数（如打钩函数）性质证明也可．

点评：本题主要考查了函数的奇偶性，以及利用函数的单调性求解有关不等式，属于中档题．