Question

【题目】若数列{an}满足：，且a1=1，则称{an}为一个X数列．对于一个X数列{an}，若数列{bn}满足：b1=1，且，，则称{bn}为{an}的伴随数列．

（Ⅰ）若X数列{an}中a2=1，a3=0，a4=1，写出其伴随数列{bn}中b2，b3，b4的值；

（Ⅱ）若{an}为一个X数列，{bn}为{an}的伴随数列，证明：“{an}为常数列”是“{bn}为等比数列”的充要条件.

Answer 1

【答案】（Ⅰ），，；（Ⅱ）见解析

【解析】

（Ⅰ）由已知与数列递推式求b2，b3，b4的值即可；

（Ⅱ）充分性，由X数列{an}为常数列，推出即可；必要性，利用反证法证明即可.

（Ⅰ），，；

（Ⅱ）充分性：若X数列{an}为常数列，∵a1=1，∴，

∴，又∵b1=1≠0，∴其伴随数列{bn}是以1为首项，以为公比的等比数列；

必要性：假设数列{bn}为等比数列，而数列{an}不为常数列，∴数列{an}中存在等于0的项，设第一个等于0的项为ak，其中k＞1，k∈N*，

∴，得等比数列{bn}的公比．

又，得等比数列{bn}的公比，与q=1矛盾．∴假设不成立．

∴当数列{bn}为等比数列时，数列{an}为常数列．

综上“{an}为常数列”是“{bn}为等比数列”的充要条件.