Question

12．设变量x、y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{2x-y≤2}\\{x-y≥-1}\\{x+y≥1}\end{array}\right.$，则z=x²+y²的范围是[$\frac{1}{2}，25$]．

Answer 1

分析 由约束条件作出可行域，然后利用z=x²+y²的几何意义结合点到直线的距离及两点间的距离公式得答案．

解答 解：由约束条件$\left\{\begin{array}{l}{2x-y≤2}\\{x-y≥-1}\\{x+y≥1}\end{array}\right.$作出可行域如图，

联立$\left\{\begin{array}{l}{x-y=-1}\\{2x-y=2}\end{array}\right.$，解得：C（3，4），
z=x²+y²的几何意义为原点O与可行域内动点距离的平方，
由图可知，z的最小值为O到直线x+y=1的距离的平方，等于$（\frac{|1|}{\sqrt{2}}）^{2}$=$\frac{1}{2}$；
z的最大值为|OC|²=3²+4²=25．
∴z=x²+y²的范围是[$\frac{1}{2}，25$]．
故答案为：[$\frac{1}{2}，25$]．

点评 本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．